Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= wx(b, -c) + yw2(b, - с).
Отсюда следует, что В остается не равным нулю при всяком положительном с,
не равном модулю какого-либо отрицательного корня уравнения
w, (6, X) + уw2(b, X) = 0,
если таковые существуют (или при всяком положи тел ьном с, если таких
корней нет).
Выбрав в уравнении (27) с указанным образом и применив к этому уравнению
метод Шварца - Пуанкаре, что возможно, ибо при этом будет соблюдено
неравенство
Uiib) + 7U2(b)*0,
докажем существование полной системы вещественных характеристических
чисел рк (Л=1, 2, 3, ...) и им соответствующих фундаментальных функций
второго предельного класса, какова бы ни была постоянная у в равенстве
(15).
24. Что касается фундаментальных функций третьего предельного класса
(равенство (16) п. 6), то все данные для распространения метода Шварца -
Пуанкаре на тот исключительный случай, когда u2{b) - 0и2(Ь) = 0, уже
имеются в предыдущих исследованиях. В п. 18 уже доказано существование
положительных значений с, при которых А = U2(b) - 0U2(b) остается не
равным нулю. Заметив теперь, подобно тому, как и в предыдущем пункте, что
А = Ui(b) -0U2ОЬ) = W2 (Ь, O)-0W2(Ь, 0) = ме'г ф, - с) - 0w2ф, с),
заключаем, что А отлично от нуля при всяком положительном с, не равном
132
модулю какого-либо из отрицательных корней уравнения w2(b, X) - Pw2(b, X)
= О,
если таковые существуют (или при всяком с > 0, если таких корней нет).
Выбрав с указанным образом и применив к уравнению (27) метод Шварца -
Пуанкаре, что возможно, ибо при этом соблюдается неравенство
и2(Ь)-ри2(Ь)Ф0,
докажем существование полной системы характеристических чисел рк (к= = 1,
2, 3,...) и им соответствующих фундаментальных функций Vk(x) (к = = 1, 2,
3, ...) третьего предельного класса, какова бы ни была постоянная Р в
условиях (16) (п. 6).
25. Заканчивая эту главу, отметим, пользуясь случаем, замечательное
свойство частных решений wl(x, X) и w2(x, X) дифференциального линейного
уравнения вида
V"(х) + [Хр(.т) -q(x)\ V(x) = 0, а<х<Ь, (75)
подчиненных условиям
ivt(а, X)= 1, w2(a, Х) = 0. w[(a, Х)=0, w2(a, X) = 1
(см. п. 3 гл. V). Исследования предыдущих глав сейчас же приводят к
следующим заключениям:
Целые трансцендентные функции, составленные из функций Wi (х, X),
Wi(x, X) и их первых производных при х = Ь, вида
и"! (b, X) - Pw\(b, X) - 2о + yw2 (b, X) - (а2 + Ру) w2(b, X), (76)
2р - Wi(b, X) - р2 w2 (b, X) + rpw2(b, X), (77)
wi(b, X) + yw2(b, X), (78)
wUb,\)-Pw2(b,\), (79)
w2(b, X) (80)
все имеет бесчисленное множество вещественных корней X* (к =
1,2,3,...),
модули которых 1к удовлетворяют условию
1к>т2к2, (81)
где т2 есть конечное число, не зависящее от к. Это справедливо при всяких
конечных значениях постоянных а, Р, т и при р не равном нулю, каковы бы
ни были функции р(х) и q(x), непрерывные в промежутке [а, Ь], из которых
первая р(х) остается неотрицательной в этом промежутке*).
Если же функция q(x) сохраняет в промежутке [а, Ь] лишь неотрицательные
значения, то все вещественные корни функции (80) неотрицательны.
Если р (дг) и q (дг) обе неотрицательны в промежутке [а, Ь\ *), а
постоянная Р< 0, то все вещественные корни функции (80) положительны;
если у > 0, то тем же свойством обладают и вещественные корни функции
(78).
Если при только что указанном свойстве функций р(х) и q(x) постоянные а,
Р и у подчинены условиям Р<0,у>0,а2 +Ру< 0, то все вещественные корни
функции (76) положительны.
*) р(х) > 0 для х е (а, Ь). {Прим. ред.)
133
Наконец, если при этом тр < 0, рФ 0, то положительны и все вещественные
корни функции (77).
В формулах (76), (78) и (79) постоянные а, (3 и у могут равняться нулю.
Как следствие сказанного, получается следующее предложение:
Функции
w,(ft,X), w|(ft, X), w2(ft, X) и w'iib, X) (82)
имеют бесчисленное множество вещественных корней, модули которых
удовлетворяют условию (81), если функция р(х) не отрицательна в
промежутке [a, ft], a q(x) только непрерывна.
Нетрудно убедиться, наконец, что в случае, когда и q(x) не отрицательна,
вещественные корни функций (82) положительны.
ГЛАВА VII
Определение характеристических чисел, каждому из которых может
соответствовать фундаментальная функция, обращающаяся в нуль на одном из
концов данного промежутка [a, ft],
когда эти функции не принадлежат к функциям трех предельных классов.
Необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять те
характеристические числа, каждому из которых могут соответствовать две
различные фундаментальные функции. Алгоритм для последовательного
вычисления всех характеристических чисел и полной системы фундаментальных
функций первого и второго классов. Выделение из полной системы тех
характеристических чисел, каждому из которых отвечают две различные
фундаментальные функции. Фундаментальные функции трех предельных классов
и их характеристические числа
1. Для дальнейших исследований необходимо решить следующий вопрос:
могут ли фундаментальные функции, не принадлежащие к одному из трех
