Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
имеют форму эллипсоидов (так же как и в разд. 2.1). Пусть электрическое
поле имеет отличные от нуля компоненты вдоль осей х, у, г. Можно легко
показать (см. Ill, § 10.6), что
0~ = л^<т>'
°уу=п-?;<Т>' (5-92>
еа
о, = п-<т>,
гг "з N "
где <т> та же самая усредненная величина, которая определяется выражением
(5.87). Отсюда видно, что весовую функцию Ef0 можно использовать и для
несферического случая.
Соотношения (5.92) совпадают с соотношениями (5.25), полученными для
постоянного т, если в них т заменить на <т>. Соответствующие подвижности
даются формулами
рсз = -^-<т>, (5.93)
"<-*>•
Формула (5.31) для дрейфовой эффективной массы в кристаллах кубической
симметрии также сохраняется, как это видно из вывода, приведенного в
подразд. 5.2.1.
5.3.2. ЗАВИСИМОСТЬ т ОТ ЭНЕРГИИ Е
Можно показать, что в полупроводнике со сферическими поверхностями равной
энергии длина свободного пробега I при рассеянии электрона на колебаниях
решетки не зависит от его скорости (см. разд. 8.5). Поэтому у-1 или Можно
по-
казать также, что при рассеянии на ионизованных примесных центрах т4 ~
(см. разд. 8.9). Таким образом, для двух указанных механизмов рассеяния
получаются совершенно различные усреднения. В случае примесного рассеяния
преобладает влияние весьма медленных электронов или дырок, тогда как при
решеточном
146
5. Явления электронного переноса
рассеянии наибольший вклад вносят наиболее быстрые электроны или дырки.
При одновременном действии обоих типов рассеяния выражение для общего
времени релаксации получается из суммы обратных времен релаксации для
отдельных механизмов 1}, т. е. из соотношения
так как полное сечение рассеяния определяется суммой парциальных сечений
(см. разд. 5.1). Оказалось, что для многих полупроводников в достаточно
широкой области изменения энергии можно положить x-aE~s, где s -
некоторая постоянная, а величина а может зависеть от температуры.
Значение s получают в общем случае из экспериментальной зависимости
подвижности от температуры. В отсутствие вырождения при x=aE~s имеем
Если s - дробная величина, то интеграл в числителе равенства
(5.95) может быть выражен через Г-функцию, определяемую соотношением
Г-функция обладает очевидным свойством: Г(х+1)=хГ(х). Если
х=п - целое число, то Г(и+1)=и 1. При х=1/г
Для рассеяния на колебаниях решетки s=V2. В этом случае длина свободного
пробега I не зависит от скорости и может быть записана
1) Это не совсем правильно, так как т* н т, по-разному зависят от
энергии. Для различных величин примесного рассеяния в предположении тi~E~
усреднение было проведено Джонсом [101, Джонсом н Ларк-Горовицем [111.
Проблему совместного действия двух типов рассеяния в дальнейшем обсуждала
КонуэлЛ
(5.94)
J ?'/*-sexp (- E/kT) dE
<Т > = а
о
(5.95)
оо
J ?"/*ехр (- E/kT) dE
о
ОО
о
Итак, полагая ts=E/kT, имеем
(5.96)
Ц21.
5. Явления электронного переноса
147
в виде 1=tv=AIT, где А - некоторая постоянная (см. формулу (8.24)). Это
дает
~~ 3 (2лк7')1/* (5.97)
^ = ^ = (5.98)
Поскольку 1=А!Т, можно записать рг в виде
\Lt = BT-4*, (5.99)
где В - константа.
Для рассеяния на ионизованных примесях получаем (см. разд. 8.9)
<т> = 8а , (5.Ю0)
п '*
В этом случае приближенно
С
а ¦¦
)n(Td) "
где С и d - некоторые постоянные (см. разд. 8.9). Таким образом, при
рассеянии на ионах примеси
^ = т?Й-> (5-101)
где D и d - постоянные числа.
При наличии двух механизмов рассеяния можно определить полную подвижность
из соотношения
- = Л + -, (5.102)
т. е. складывая обратные величины подвижностей так, как если бы речь шла
о соответствующих временах релаксации м. Из (5.102) следует, что при
высоких температурах преобладает решеточное рассеяние, однако при более
низкой температуре, значение которой зависит от концентрации ионизованных
примесных центров, начинает преобладать примесное рассеяние. Это
проявляется в том, что температурная зависимость подвижности перестает
укладываться в рамки простого степенного закона, который обычно
наблюдается при более высоких температурах. Однако было показано, что
формула (5.99), вообще говоря, несправедлива даже и при высоких
температурах. Причины этого сводятся в основном к тому, что для
применимости этой формулы необходимо, чтобы по-
*> См.( однако, примечание к (5.94),
148
5. Явления электронного переноса
верхности равной энергии были сферическими. Мы вернемся к обсуждению
этого вопроса в разд. 8.7.
Для чисто решеточного рассеяния при сильном вырождении имеем
так что величина <т>// очень слабо зависит от температуры и может
считаться постоянной. Поскольку множитель I обратно пропорционален
температуре, то
Итак, в сильно примесном полупроводнике с большой и почти постоянной
концентрацией электронов п
Таким образом, удельное сопротивление оказывается прямо пропорциональным
температуре Т. Такой полупроводник ведет себя подобно металлу, поскольку
у металлов в широкой температурной области, за исключением очень низких
температур, обычно наблюдается такая же зависимость удельного
