Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, пренебрегая, как и раньше, членами порядка со2, имеем
Формула (5.111) является обобщением формулы (5.39) на случай, когда т
зависит от Е. Для дырок
/* = -^7 "т> ?*->" <г2> ^
(5.107)
h = Т^Г (<Т> (r) <т2> ***)•
X
У
(5.108)
(5.109)
откуда коэффициент Холла Rn равен
(5.110)
где
(5.111)
(5.112)
где г по-прежнему определяется формулой (5.111), но под т теперь следует
понимать время релаксации дырок.
5. Явления электронного переноса
151
При рассеянии на колебаниях решетки (см. подразд. 5.3.2), для которого
т=аЕ~'/г, имеем
оо
a2 J ?*/* exp (- E/kT) dE
<,>>__"-----------------------------------------,5.113)
$ ?*/' exp (- E/kT) dE о
Воспользовавшись формулой (5.96), получаем <т>=Зл/8=1,18. Итак,
Ш или <5Л14>
В более общем случае при т=аЕ~* имеем
"> 3
$?s~ %хр(-?/кГ)<1? г (1-2^
<т*> = e. JL -= а2 (кТ)-У ¦ V2 ).. (5.115)
J ?v* exp (- E/kT) dE Г \У J
(5.116)
Из (5.115) для <т*> и (5.96) для <т> получаем
г (1-2.) Г (4)
1ЩЧГ'
В случае примесного рассеяния, для которого 5=-3/2, получаем
г=315я/512=1,93. В вырожденных полупроводниках <т2>=|т(?'Р)]3 и поэтому
г=1, т. е. получили тот же результат, что и для постоянного т. При очень
больших значениях В, как и раньше, R - Мпе или Мре, в чем можно
убедиться, если в выражениях (5.107) перейти к большим значениям со.
При наличии носителей заряда нескольких типов выражения (5.107),
относящиеся к отдельным типам носителей, складываются. В частности,
вклады электронов и дырок входят аддитивно в выражение для общего
электрического тока. При условии одинаковой зависимости времен релаксации
электронов и дырок от энергии Е, поступая так же, как в подразд. 5.2.2,
легко вывести следующую формулу для коэффициента Холла:
где г определяется зависимостью (5.116).
Если поле таково, что членом (ют)2 в знаменателях равенств (5.61) и
(5.62) пренебречь уже нельзя, то для средних плотностей
152
5. Явления электронного переноса
(5.118)
токов можно написать формулы
jx = A?x-D?y, jy = D?x + A?y, где
<5Л19>
D=-^(t+W>- (5-120)
При x = aE~s получаем
" 4ояе2 Г х2 e~xdx
:j x2s-{-a:
з
-+ s
Зл11*те (кГ)0 A^ + aWr)-2* • о
оо
^ 4я2яе2 Г x,^e~xdx
(5.121)
Р X*^tE'"Xd.X
J х25 + аа0)2(кГ)"25 ¦ (5.122)
3n'/!me(k7')2^J А:24 + а2о)2 (кГ)-24 •
Коэффициент Холла, выраженный через коэффициенты А и D, имеет вид [ср. с
формулой (5.68)1
Ян = \s (A2-\-D2) ' (5.123)
Для случая рассеяния на колебаниях атомов решетки, для которого
s= 1/2, введя обозначение рсо=е<т>/те, получаем
А = пе[1ы12 (а), (5.124)
D = ~^~ ne\xlaBI4t (ст.), (5.125)
4
где
а = -]д- Я2РсО (5.126)
= (5.127)
о
Для коэффициента Холла Ru в этом случае имеем
#н =-!l_______________________________ [5 1281
4яе Г ,2, ч , 9я 2 "2,2 , Д -
2 (") + "2б'РсоВ
При В 0, /2 -> 1, а /"/, ->• я1/"/2, так что, как и следовало ожидать,
5. Явления электронного переноса
153
При наличии смешанной проводимости используем формулу (5.71) со
значениями коэффициентов А и D, соответствующими каждому типу носителей
заряда в отдельности. Для дырок знак постоянной D необходимо изменить на
обратный. В результате получаем
где а" и ар - значения коэффициента а для электронов и дырок
соответственно, b - отношение рс0 для электронов к для дырок. При очень
больших значениях В и при пфр имеем R -*¦ 1/е(р-п).
5.3.4. ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ С НЕСКОЛЬКИМИ МАКСИМУМАМИ ИЛИ
МИНИМУМАМИ ЭНЕРГИИ
Приступим теперь к обобщению предыдущих результатов на случай
полупроводника, обладающего несколькими эквивалентными минимумами в зоне
проводимости или эквивалентными максимумами в валентной зоне. Для
упрощения задача допустим, что экстремумы лежат на трех взаимно
перпендикулярных осях симметрии, как это имеет место, например, в зоне
проводимости Si. Для начала рассмотрим простую эллипсоидальную
поверхность постоянной энергии, причем будем считать, что магнитное поле
направлено по оси г. Составляющие тензора обратной эффективной массы по
осям х, у, г обозначим соответственно через 1/mi, l/mg, 1 т3. Время
релаксации т предполагается изотропным и зависящим лишь от энергии Е. В
этом случае уравнения движения можно записать в виде
Для решения этой системы умножим первое равенство на (&¦]', а второе на
о'/* и введем обозначение Z=<a\/,vx+i(a2,vy. Тогда система (5.130) будет
эквивалентна уравнению
Зл'/. n*8/,/t(0Cn)-p/,/t(gp)
(5.129)
4е {пЫг (a") + p/g (ap)}*+ap {пЬЧ,,% (ал)-р1,/г (ap)}? '
(5.130)
(5.131)
Соответствующее решение имеет вид
(5.132)
154
5. Явления электронного переноса
где через со2 обозначено произведение cihcoj. Изучение электропроводности
показало, что при этих условиях для усреднения можно воспользоваться той
же весовой функцией, что и раньше. Усредняя
(5.132) по различным временам свободного пробега (см. подразд. 5.2.2),
получаем
Z = - (5.133)
1 - кот \ т± тг ) ' '
Разделив последнее выражение на действительную и мнимую части, приходим к
системе равенств
' "l<?;Л2
-evr = e2
~evy = e
х 1т1(1+(о2т-) ma(l+(o:
(5-134)
