Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
который характеризуется поперечной эффективной массой тТ и продольной
эффективной массой mL. Введем новую систему координат (хг, у', г') с
таким расчетом, чтобы направляющие косинусы оси х' в прежней системе
координат равнялись (1ДЛз, 1/^3, 1/^3, ), иными словами, так, чтобы ось
х' была направлена по диагонали <111>. Пусть, далее, ось у' образует
прямой угол с осью х' и характеризуется направляющими косинусами (1/^2,
0, -1/^2), а ось г направлена перпендикулярно к двум первым осям и имеет
направляющие косинусы (-1/|/б, 2/^6, -1/Кб). В новой системе координат
уравнение эллипсоида, соответствующего энергии Е, имеет вид
h2 k'K2 k'J+k 8л4 [mL тт
-]. (5.204)
Используя матрицу преобразования
X У 2
1 1 1
>^3 /3
1 0 1
У2 Y2
1 2 1
V6 ~>^6'
перейдем к системе координат (х, у, г). Тогда уравнение эллипсоида
постоянной энергии относительно прежней системы отсчета приобретает вид
?=7&[т(?+яе) <"+Ч+*Э-
-4 (sf-si) (*Л+*Л + 'Л)]. (5-205)
5. Явления электронного переноса
167
Введем обозначения
(5.206)
(5.207)
причем тс совпадает с использованной ранее так называемой дрейфовой
эффективной массой. Таким образом, тензор обратной эффективной массы
обладает следующими отличными от нуля компонентами: т~'
=/Пуу=тг~1=>=т(г1, т~у =m~^=rriy\ =-mj1. Если
магнитное поле направлено по оси г, то уравнения движения электронов
имеют вид [см. формулу (2.39)1
С помощью обозначений о\=еВ/тс и щ=еВ!тл первые два уравнения можно
переписать в виде
Аналогично тому, как мы это делали в подразд. 5.3.4., эту систему
уравнений можно решить относительно (Оя+о") и (оя-иу) и затем усреднить
по времени релаксации т. Действительно, равенства (5.209) можно
представить в виде
где (1>|=(1>с-<Dd и {i)2=(oc+a>d. Введем обозначение Qs=o)1a>2= =о>?-(c)3,
тогда сравнение с (5.134), (5.135) позволяет по аналогии сразу написать
решение
vx + vy = F + o>1(vx - vu),
= О-(r)" ("*+",).
(5.210)
(5.211)
168
5. Явления электронного переноса
откуда
= у (F + G) (l + QaT(r)) + Т - (i + qh(r))' (5.212)
vy = т ^ ^ (l + fiax5) у ("a^ + ^iG) J _J_ Qlli).
Поскольку (Oj, со а и й пропорциональны магнитной индукции В, то
выражения для vx и vy можно разложить в ряды по степеням В, после чего
получим
vx =i-(F + G) <т>-(co2F -(OxG) <т3>-
-у (F -f G) й2 <т3>, (5.213)
vy = 1 (F-G) <т>-у KF + (OxG) <t2>. (5.214)
Теперь необходимо произвести усреднение по различным эквивалентным
эллипсоидам. Это осуществляется заменой эффективных масс myz, mzx, тху на
±тd путем последовательных перестановок. В результате находим
F = -~(SX+Sy),
5 = -;г (?--**)•
io2F = -е2В |
(~2-(Sx + Sy),
\т с ftid/
cd2G = - е2В ('-L-(<?*-"? ),
\тс та/
тс \тс та/
По определению /Л.= -nevx и т. д. Поэтому
/V-(д-^) <*'> *"-
(5-215>
h = ne2 {§->(^ + еВ (Л--1И <**>¦** \. (5.216)
I "'с \тс та/ J
5. Явления электронного переноса
169
Отсюда сразу получим
ao = m?tSr' <5-217)
<5-218>
Используя обозначение K=ML/MT, имеем mc=3ML/(2K+l), rrid=3ML(K- 1) и
тогда формула (5.218) приобретает вид
р 1 <т2> 3К (К + 2) /Ч 21Q1
Нн°- пе <т>2 (2/f+l)2 * (О.ЛУ)
Выражения для RHo и о0 получились такими же, как и для полупроводников, у
которых оси вращения эллипсоидов постоянной энергии ориентированы вдоль
направлений <100>.
Из (5.215) получаем для магнитосопротивления
? = (Ч-А) . (5.220)
ао що0 \/Лс т\)
1. (5.221)
откуда
да <т3> <т> (2/f+l)2
RboriB* ~ <T*>2 Ж (К+ 2)
Таким образом,
1 _1_ f001 _
(2/f+l)2 (1+5)
1 + ~ 3/f(/f + 2) * (O.zzz)
Из выражений (5.212) находим также предельное значение о при В-*-оо, а
именно:
(з-д> (5-223)
2-Ф <•>"&%• <м*>
и, как раньше, /?ш=-1/пе.
Вычисление значений С и о. для других направлений является более
громоздким. Окончательный результат следующий 191:
GX-= 2 (6 + 1) (К-1)• щщщ*, (5.225)
йй = у(r)8- (5-226)
Кроме того,
(2/f+l)2 ' 3/f (/f + 2) '
4V,0=-
vWno <
(5.228)
170
5. Явления электронного переноса
Заметим, что в этом случае коэффициент продольного магнитосопротивления
SJSo отличен от нуля", так что сопротивление в магнитном поле меняется
даже тогда, когда ток параллелен направлению магнитного поля и оба
вектора ориентированы вдоль одного из направлений <100>.
Зная величины ?100, ?п||, можно вычислить также коэффициенты Mravw
формулы (5.188). По-прежнему [см. формулу (5.196)] имеем
Л*,". = ^ = -Я!й°!("а+1), (5.229)
М"" = - RhoOl (1+6) • (5-230)
Для определения ?по используем соотношение
5^g-2= (b + C+Y^ =~2 (^ + Q + S), (5.231)
откуда
Р + Q + S = - 2Я2Н0а^1" = - RMZ. (5.232)
Коэффициент C1S2 можно определить из соотношения
=_(i, + c + <i)_|, ,5.233)
так что
Mrrrr = S^-R>H0o%{Z (5.234)
Mrrrr = -2Wmo% (1 +1) {К~К[(К%У]. (5.235)
Отсюда следует также, что Р=-Q и
М."" = -М"". (5.236)
Наконец, через величины ? можно выразить постоянные Ь, с, d. Из
предыдущих соотношений следует
b^-R2mO&Z, )
c = - RtmO%S&, [ (5.237)
d = RM\%- I
Эффект магнитосопротивления в полупроводниках, имеющих поверхности
постоянной энергии в виде эллипсоидов, а также имеющих
