Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
формулы (5.144), третье представляет собой общий вид записи членов,
линейных по 8 и одновременно квадратичных по В. Формула (5.187),
записанная в компонентах векторов по осям координат (х, у, г),
обозначенных нижними индексами г, s, t= 1, 2, 3, имеет вид
}г = а0& г + ^осто (<$* s&t-&А) *Ь М ravwd>цВцВ*' (5-188)
В этой формуле, как обычно, предполагается суммирование по дважды
повторяющимся индексам. В кристаллах с кубической симметрией значительное
число компонент тензора М равно нулю. В этом можно убедиться, произведя
замену направлений одного из векторов в ряде симметричных конфигураций. В
общем случае отличны от нуля лишь следующие компоненты тензора:
МГТГГ* ЛЛ
rrss
(r=^s), Mrsrs(r=?s).
Эти компоненты не меняются при взаимных перестановках индексов г, s, t;
Mrssr и Mrsrs представляют собой одну и ту же составляющую. Итак, в
квадратичном по В члене в (5.188) имеются три независимые постоянные.
Если поверхности постоянной энергии представляют собой эллипсоиды
вращения вокруг соответствующих осей х, у, г, то Мгггт=0, поскольку в
направлении этих осей коэффициент продольного магнитосопротивления равен
нулю. Если же оси эллипсоидов вращения направлены по осям <111>, то, как
мы увидим ниже, коэффициент продольного магнитосопротивления отличен от
нуля для любого направления в кристалле, поэтому
Л4 ГГГГТ^О.
Обозначим Mrrrr=S, Mrrii=P, Mrsrs~Q и перепишем формулу
(5.188) в виде
ir ~ г "Ь Ro°o ($sBt - <S,Bs) -f- S?rB1 -f-
+ P<sr (B\ + B?) + Q (<BtBrBs + etB,Bt). (5.189)
Легко видеть, что она полностью эквивалентна следующему выражению,
которое вывел Зейтц [171 для кубических кристаллов, ис-
164
5. Явления электронного переноса
ходя из общих соображений симметрии:
j = a08+a[8xB]+p85!! + YB(8*B) + 6T8, (5.190)
где a, Р, у, б - постоянные числа, Т - диагональный тензор с компонентами
Вгг, В\, В). Из сравнения двух формул (5.190) и
(5.189) находим
При экспериментальном исследовании эффекта магнитосопротивления обычно
измеряют зависимость падения напряжения на образце от напряженности
внешнего магнитного поля при неизменной величине протекающего по образцу
электрического тока. Формулу
(5.190) можно переписать таким образом, чтобы выразить напряженность
электрического поля 8 как функцию плотности тока ]. Очевидно, в линейном
по В приближении
Подставляя это выражение для 8 в линейный по В член выражения (5.190) и
заменяя 8 в квадратичном по В члене выражения j/cr0, получаем
Сопротивление р определяется выражением (8 - j)/j2, поэтому имеем
S, Р, Q - введенные выше обозначения для компонент Мгггг,
Mrrs3, Mrsrj тензора М. Обозначив через t, /, k направляющие ко-
синусы вектора плотности электрического тока, а через /, т, п
соответственно направляющие косинусы вектора напряженности
a = R0ol, Р = Л у =Q, б = S-P-Q.
(5.191)
a08 = j -a"^" [j X В] + + cB (j • B) + dTj;
при этом использовано соотношение
[Bx[jx В]] = jBz-B(j-B).
Ap (8-D-Po/V t. ¦ "(I B)8 PoB*- 0 j) ~0 + c j*B*
t j (fxBx-h /уВу-Ь /1В|) "г" Тапа---------
/аВ2
(5.192)
где
Оо 00
б P + Q -5.
ГТ- ' /Т- *
5. Явления электронного переноса
165
магнитного поля, получим
-pjfr = Ь + с ("/ + jtn -j- kny + d (iH2 + у-m} + kbi=). (5 ,93)
Это равенство, предложенное Бардином, приведено в работе Пирсона и Суля
[18], которые воспользовались им для анализа результатов своих измерений
магнитосопротивления в Si и Ge. Оно весьма удобно для определения угловой
зависимости магнитосопротивления, возникающей при изменении ориентации
полей относительно осей кристалла.
Если поверхности постоянной энергии представляют собой эллипсоиды
вращёния вокруг осей координат*, у, г, то S=0, а величины Р и Q могут
быть выражены через коэффициенты магнитосопротивления ?. Например, при В,
направленном по оси г, a j - по оси х, получим простое соотношение
Ао/о0В2=-Ь, так что
Rlol + P = ^, (5.194)
или
~Щв* = 1+Щ=_ет' (5'195)
Таким образом,
Л1"м = Я = -ЯМ(ЙЙ-|-1) = (5.196)
= -ВДО (5.197)
Сдругой стороны, полагая Вх=Ву,.Вг*= 0 и jx=jy, jz=0, имеем
~?к=-(&+с+4)=^г- (5198)
Но
поэтому
l(/> + Q)=-/?KSi;: (5.199)
М"" = Q = ад (ЙЙ-2ЙЙ + 1) = (5.200)
= ЗВД(1+6)тпШя. (5-201)
Ж/С+2)* * Итак, получаем
Mrsrs . Q з/с
Mrrss Р /С4+/С + 1
(5.202)
Коэффициенты Ь, с, d выражаются следующим образом через величины ?:
c = Rfrl( 2ЙЙ-8", (5.203)
d= -2Rfr&\\l
166
5. Явления электронного переноса
В кристаллах с кубической симметрией возможно еще и другое симметричное
расположение поверхностей постоянной энергии, а именно: эквивалентные
эллипсоиды могут располагаться вдоль осей <111> куба. Примером подобной
структуры является зона проводимости. в Ge. Для рассмотрения такой более
сложной ситуации необходимо обобщить теоретический метод, использованный
в подразд. 5.3.4, на более общий случай недиагонального тензора обратной
эффективной массы. Направим координатные оси (х, у, г) вдоль направлений
<100> в кристалле. Рассмотрим вначале изоэнер-гетическую поверхность в
виде эллипсоида вращения, ось которого направлена вдоль диагонали <111> и
