Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
общем случае
(5.42)
(5.43)
5. Явления электронного переноса
135
кулярном направлению тока. Следовательно, в условиях смешанной
проводимости к вычислению величины коэффициента Холла следует подходить с
большой осторожностью. Эго наглядно поясняет существенное различие между
металлами, которые обладают только одним типом носителей заряда, и
полупроводниками.
При вычислении коэффициента Холла Rн для случая, когда преобладает один
тип носителей заряда, электроны или дырки, нет необходимости заранее
предполагать малость холловского угла 0. Однако, как мы увидим позже, для
получения простого выражения Для Rн, соответствующего уравнениям (5.39) и
(5.39а), мы все-таки должны принять, что холловский угол 0 мал
одновременно для электронов и дырок; т. е. Бре<^1 и Позже мы
уберем это ограничение при вычислении Rн в условиях смешанной
проводимости, однако поучительно показать, почему простой подход,
пригодный для случая проводимости одного типа неприменим в случае, когда
и электроны, и дырки присутствуют в сравнимых концентрациях.
Теперь при jy=О мы не можем считать, что оу для электронов или дырок
равно нулю, так что нам придется обратиться к уравнениям движения. Для
электронов
т,Ьх = -е€х-еоиВ, (g
mtvy = -egy + evxB.
Если Вре мало, то член Веиу будет порядка ?феф= (B\ie)2egx,
т. е. будет пренебрежимо мал. Тогда первое из уравнений (5.44)
можно заменить более простым,
mevx = - e<8x, (5.45)
и, повторяя рассуждения, приведенные ранее, получить vx=-Цеф. Подставляя
этот результат в (5.44), получаем
mevy = - е?у-еВце?х. (5.46)
Так как правая часть (5.46) теперь постоянна, то мы можем, как и ранее,
записать
V = - Неф,-1'? Дф. (5.47)
Аналогично для дырок
""ь^Иьф-ИьВф. (5.48)
Составляющая плотности тока jy в направлении оси у теперь является суммой
электронной и дырочной компонент,
jy = ~nevyt+pevylt =
= "еНеф + пе\х\в<§х + />ереф-деДОф. (5.49)
136
5. Явления электронного переноса
Теперь уже мы можем положить /в=0 и получить отношение полей <§у1<§х, т.
е. записать
tge=^ = №$7я--- (5.50)
й <§х nPe+№i '
В этом случае коэффициент Холла Rн дается соотношением <§ytjB = -
,§у1<§хаВ. Далее, используя выражение (5.20) для сг, получаем
Vb-.?i4. (551)
Равенства (5.50) и (5.51) переходят в (5.35) и (5.39) при р=0 и в (5.35а)
и (5.39а) при п=0.
Особый интерес представляет собой значение коэффициента Холла Rн для
собственного полупроводника. В этом случае п=р = г=ПЛ и
flH1 = J-SiZ±s.. (5.52)
eiii pe + Ph 4 '
Если ввести отношение подвижностей &=ре/рь. то формулу (5.47) можно
переписать в виде
*н=Т(?тд"- (5-53)
Таким образом, при р=Ьгп имеем 7?н=0. Можно заметить, что при наличии
смешанной проводимости произведение Rн<т является функцией отношения р/п.
Значение коэффициента Холла в собственном полупроводнике определяется
формулой
*¦-5(r) <5-54>
При b> 1, как это часто и бывает, #Hi<0, т. е. в данном случае
преобладает электронная проводимость.
Изменение коэффициента Холла с температурой показано на рнс. 5.4 для
полупроводника /г-типа при fc> 1 и на рис. 5.5 для р-типа при Ь>1.
Следует обратить внимание на прохождение через нуль и смену знака
коэффициента Ян в этом случае.
Поучительно вычислить средние скорости дрейфа vye и Подставляя значение
<§у в (5.47) и (5.48), получаем
7,' - - PMePhfl(?*(Pe+Ph) /- сс-ч
V- Я|ге + /"|Хь ' < ' *
= (5.56)
Опять мы видим, что и электроны, и дырки стремятся дрейфовать вправо по
ходу тока, т. е. в отрицательном "/-направлении. Мы видим также, что
vye=0 при /в=0, если только р=0, и пвц=0
5. Явления влектронного переноса
137
Рис. 6.4. Температурная зависимость коэффициента Холла для полупроводника
я-типа.
при jv=0, если п=О, как это предполагалось ранее для случая, когда
преобладает один тип носителей заряда.
В выводе этих формул предполагалось, что холловский угол 0 мал как для
электронов, так и для дырок, иными словами, Врв и Вць одновременно малы.
Это ограничение можно снять, решая соответствующие уравнения движения.
Уравнения движения для электронов (5.44) можно записать в виде
(5.57)
где (о=еВ/те. м/2я - частота циклотронного резонанса, введенная в разд.
2.5. Это хорошо известные уравнения, описывающие движение электрона в
скрещенных электрическом и магнитном
] 38
5. Явления электронного переноса
Рис. 5.5. Температурная зависимость коэффициента Холла для полупроводника
р-типа.
полях. Используя комплексные переменные Z=vx-\-ivu и г-х+й/, систему
уравнений (5.57) можно записать в виде
Z-icoZ =--~^{Sx + iSy). (5.58)
Общее решение этого уравнения имеет вид
Z = Z0eiat + ~ (ёх + i€v) 1 , (5.59)
где Z0=vx()-\-iVy0. При /=0 оно сводится, как это и должно быть, к
значению Z=Z0. Необходимо усреднить теперь Z по временам свободного
пробега, приняв по-прежнему Z0=0. Тогда получаем
2=^+Ч=т1*-'лл = -?таг1?- <5-60>
О
Разделяя (5.54) на действительную и мнимую части и полагая /х.=-envx и
jy--envy, получаем для составляющих плотности
5. Явления электронного переноса
139
тока }х И /у.
