Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
магнитном поле, Др=р-Ро, где р0 - значение сопротивления при 5=0.
Подставляя вместо аи Йщ и <т2, /?Н2 соответствующие выражения для
электронов и дырок, получаем
ДСТ Др fippePh (Pe + Ph)2
СТ0В2 р0В2 ("Pe + PPh)2
ИЛИ
(5.80)
Дст прЬрь(1-]-Ьу ' ^5 81)
ст0В2 (лй + р)2
Используя равенство (5.53) для коэффициента Холла #но в слабом поле,
можно переписать формулу (5.81) в виде
~ = ^ = IRhooIB\ (5.82)
Сто Ро
где
(р-лй2)2
Величину | обычно называют коэффициентом поперечного маг-
нитосопротивления. При л=0 или р=0 этот коэффициент обращается в нуль.
Отсюда видно, что даже те полупроводники, которые ¦при п=0 или р=0 не
обнаруживают поперечного магнитосопро-тивления, могут обладать этим
эффектом в области смешанной проводимости. Однако поскольку jz не зависит
от В даже в области смешанной проводимости, то эффект продольного
магнитосопротив-ления у таких полупроводников отсутствует.
5.3. Время релаксации, зависящее от энергии
Перейдем теперь к исследованию случая, когда время релаксации т зависит
от скорости v. Для начала рассмотрим несобственный полупроводник со
сферическими изоэнергетическими поверхностями. Существуют два
теоретических метода изучения кинетических явлений. Более фундаментальный
метод - использование кинетического уравнения Больцмана, с помощью
которого определяется отклонение функции распределения от ее равновесного
значения (распределение Ферми - Дирака), вызванное внешними полями. Этот
метод подробно излагается в известных руководствах по теории твердого
тела (см., например, [7], гл. 8; [8]; [1], § 10.5, 10.6). С другой
стороны, для этой цели можно использовать решения уравнений движения, т.
е. равенства (5.61) и (5.62), и усреднить
5. Явления электронного переноса
143
их с помощью надлежащей весовой функции 1). В качестве весовой функции
для усреднения равенств (5.61) н (5.62) на первый взгляд кажется вполне
естественным использовать обычную функцию распределения
N(E)f0 ^±Z^L^N(E)Ux)
определяющую число занятных состояний, приходящихся на единичный интервал
энергии. Здесь f0(x) - функция Ферми, определенная в разд. 4.1. Это,
однако, неверно. Такой способ усреднения не исключает переходов
электронов в занятые состояния, которые на самом деле запрещены принципом
Паули. Кроме того, даже в отсутствие вырождения электронного газа такой
способ усреднения неверен, так как приписывает слишком малый вес наиболее
энергичным электронам. Оказывается, что в отсутствие вырождения
правильная весовая функция должна иметь вид EN (?)/"[(?-?'р)/к7'], где
f0(x) можно заменить показательной функцией.
5.3.1. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Для начала предположим, что имеетея Дп (Е) электронов, энергия которых
лежит в интервале Е до E+dE. Вклад этих электронов в плотность тока /
дается формулой
(5.84)
Предположим, что т зависит только от величины скорости v и,
следовательно, от энергии. Для того чтобы получить полную плотность тока,
необходимо произвести суммирование по всем таким группам электронов,
однако с учетом весового множителя W(E). Таким путем получим
i = ne2j4r- <5-85)
В этом выражении для невырожденного полупроводника /г-типа мы заменили
2Д/г(?)т (?)№(?)• на /г<т> (см. (1], § 10.6), где
$ EN (?) ехр (- ?/кГ) т (?) dE
= ---------------------. (5-86)
J EN (?) exp (- EjkT) dE 0
Такой метод используется в статье Брукса (9) (см. также (1), § 10.G).
144
5. Явления электронного переноса
В случае "сферических" зон энергии N (Е) ~ (см. разд. 4.2)
^ Е3/' ехр (- Е/kT) т (Е) dE
<*>-=JL-= • (5-87)
?3/s exp (- Е/кТ) dE
о
Следовательно, мы можем использовать приведенное выше рассмотрение
проводимости, лишь заменив постоянное время релаксации т его усредненной
величиной <т>.
Если имеет место слабое вырождение, то в качестве весового множителя
следует использовать значительно более сложное выражение (см. [1], §
10.6)
W(E) = Ef0(l-f0). (5.88)
Опустив несущественный множитель, это выражение можно представить в виде
H7 (?) = ?#. (5.89)
тогда для "сферических" зон
^ ?3/г (dfJdE) т (E)dE
<Т>=^--------------------. (5.90)
5 Е'!> (dfoldE) dE о
В условиях сильного вырождения весьма приближенно можно принять /"=1
при Е<.Ер и /0=0 при Е^ЕF, так что интегралы,
содержащие dfJdE, дадут вклад только вблизи Е=Ер, следователь-
но, остальные сомножители подынтегральной функции можно вынести за знак
интеграла. Таким образом,
j т(Е)ЕЧг V±dEtt-x (Ер) Ер\ о
ос Е F
^E4*-^dEtt j F/*d? = - Ери, о о
откуда приближенно
}яъеЪп1Ш. (5.91)
Из этой формулы видно, что как будто бы все электроны в зоне участвуют в
проводимости, однако с одним и тем же значением
5. Явления электронного переноса
145
времени релаксации, соответствующим энергии электрона вблизи уровня
Ферми.
Если изоэнергетические поверхности не обладают сферической симметрией, то
весовую функцию, используемую для усреднения, следует видоизменить.
Рассмотрим случай, когда вырождение отсутствует, тогда функцию /0 можно
заменить экспонентой. Предположим, что изоэнергетические поверхности
