Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
00
1 = р (-{) dt = v"-iS. (5.12)
Из предположения, что в среднем после каждого соударения полностью
теряется приобретенная ранее дрейфовая скорость, следует, что vxo=0.
Поэтому
Таким образом, в этом приближении средняя скорость дрейфа vx
пропорциональна напряженности электрического поля ?. Равенство (5.13)
можно записать в виде
vx = - Це<?> (5.14)
где ре (положительная величина) - подвижность электрона, т. е. величина
скорости дрейфа электрона, обусловленная полем с напряженностью, равной
единице. Таким образом, для ре получим соотношение
^е = 5г. (5.15)
Аналогично в случае положительных дырок
- е%?
5. Явления злектронного переноса
127
причем
Ин = ^. (5.16а)
Оценим значения некоторых из введенных величин. В чистом германии при
комнатной температуре ре=3900 см?-В_1-с-1. (В системе СИ: 0,39 мг-В-1-с-
1). Если принять me=0,3m0, то elmе" "6-10'* Кл-кг-1, и мы получаем т=6-
10-13 с. Среднюю квадратичную скорость электрона и? можно получить из
соотношения
•jmeu3 = -|k7\
Поскольку средняя скорость v лишь незначительно отличается от [и*]'/", то
~ /ЗкТ\Ч,/е\Ч, /с
) UJ * <5Л7>
При Г==300К к77е"1/40В, откуда г>"2,5-103 м-с"1, так что/ = = 1,5-10"*м,
=1,5-10"5 см. Это означает, что длина свободного пробега превышает сотни
межатомных расстояний. В среднем за 1 с электрон пробегает путь порядка
v• 1 с, т. е. 2,5-107 см, тогда как в поле напряженностью 1 В • см"1 он
дрейфует на расстояние ре-1 В/см-1 с= =3,9 -10* см, что примерно на
четыре порядка меньше пути, пройденного при тепловом движении.
5.2. Время релаксации, не зависящее от энергии
Значения т для электронов и дырок, как правило, отличаются друг от друга.
Кроме того, следует помнить, что в общем случае время релаксации т
является функцией скорости, так что его необходимо, вообще говоря,
усреднить по всевозможным скоростям v. Для начала, однако, рассмотрим
более простой случай, когда время не зависит от скорости, т. е. когда
равенства (5.13) и (5.16)
относятся сразу ко всем свободным электронам в зоне проводи-
мости и соответственно ко всем дыркам в валентной зоне. Как мы уже
выяснили в подразд. 1.3.1, все прочие электроны не принимают участия в
процессе электропроводности.
5.2.1. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Обозначим через пир концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в
валентной зоне соответственно. Плотность /* электрического тока вдоль оси
х дается формулой
jx = - envx + epv'x - (5.18)
= е(пре + ррн)<?,. (5.18а)
128
5. Явления электронного переноса
Электропроводность о определяется равенством
j = °S. (5.19)
Таким образом,
CT=e(/zpe+Plih)- (5.20)
Это весьма важное соотношение, связывающее электропроводность с
концентрациями и подвижностями электронов и дырок, будет широко
использовано впоследствии.
В полупроводниках со сферическими изоэнергетическими поверхностями и
скалярной эффективной массой приведенные выше соотношения остаются
справедливыми для любого направления тока и поля в кристалле, иначе
говоря, ст является скалярной величиной. Предположим, однако, что мы
имеем деЛо с Полупроводником я-типа (я^>р)> у которого имеется один
минимум энергии в зоне проводимости при к=0, а поверхности равной энергии
не обладают сферической симметрией. Для малых значений k энергию можно
представить в виде
Е =
h*_ Г? ? k\_
8л2 [ тг ' т3
(5.21)
= у[/п1и2 + /пвг? + /паи*] (5.21а)
[ср. с формулой (2.18)1.
В системе координат, связанной с главными осями тензора обратной
эффективной массы, уравнения движения для электронов имеют вид
m]vx = - е?х,
тгх)у = - е?у, (5.22)
m3vz = - egz,
где Syt Sz - компоненты поля вдоль соответствующих осей координат. Путем
обычного обобщения приведенного выше расчета на трехмерный случай,
получим
!х = пец 1<?я,
iy = ne\it?1J, (5.23)
\z = ne\L3gz,
где \i!=er/mi, цг=етlm2, \i3=exlm3. Таким образом, в данном случае
электропроводность является тензором, причем благодаря соответствующему
выбору системы координат этот тензор имеет
диагональный вид. Если закон Ома выписать в виде тензорного
равенства
ir = 2", А, (5-24)
5. Я&гения э.кктронного переноса
129
где г, s = х, у, г, то мы получим
(r) уу пе№ 1" (r)дгу Gyz = (r) zx = ^
огг = пе\1 "
(5.25)
Такой проводник электрического тока, очевидно, анизотропен, н, за
исключением направлений, параллельных главным осям кристалла, вектор
плотности тока j уже не будет коллинеарен вектору приложенного внешнего
электрического поля. Анизотропные кристаллы часто обладают симметрией
вращения относительно одной из осей кристалла, которую можно выбрать в
качестве главной координатной оси. Остальные две оси координат можно
совместить с любыми двумя взаимно перпендикулярными осями, лежащими в
плоскости, ортогональной к главной оси симметрии. Направим ось г по
направлению главной оси кристалла. Тогда получаем /П1=ш2 и,
следовательно, pi=p2, охх=ОуУ=оТ и ozz=aL. Пусть вектор тока j образует
угол 0 с осью г. Направим ось у так, чтобы она была перпендикулярна к
плоскости, содержащей вектор j и ось г. Компоненты вектора напряженности
