Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
выражение:
(й/, sin Е — Ы2 cos Е), (8)
которое может рассматриваться как известная функция t и шести элементов
того же вида, что и разложение, найденное ранее для х.
Для решения уравнений (1) мы возьмем в качестве новых переменных шесть
элементов а1 и Р; так, чтобы х, у и z опять определялись формулами x =
F1i(t, alt р,) и т. д. Из этих трех соот-
р У. Смарт
82
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
ношений любые три элемента at, могут быть выражены через х, у и г. Для
того чтобы полностью определить остающиеся элементы, мы потребуем, чтобы
выполнялись три дополнительных соотношения. Выберем их таким образом:
dx дх п о ч
-дГ—~§Г==0*( ’ в<* Р')*
= (*.«,. р,). (9)
ТГ“ ж=°*
Здесь djdt означает дифференцирование по времени при условии, что новые
переменные at, рассматриваются как функции времени. Этот метод обычно
называют методом вариации произвольных постоянных.
Из первого соотношения (9) имеем
d*x _ д<3\ I V _i_ V dG' dh
dt2 ~~ dt Li da{ dt Lk 'Ж dt '
i i
где суммирование производится по I от 1 до 3.
Однако из равенств (6). заменяя х на дх/dt, имеем
д2х dGt дх dGt
dt1 ~~ dt ' dat ~ dat
и
дх _________ <?(?[
Ж “ <*1 •
Следовательно, уравнение (10) принимает вид
d2x д2х , дх • , дх ?
dt2 ~ dt2 "г 2u dat
(П)
Поскольку функция х = F, (/, а,, (ЗД где а и р—постоянные, удовлетворяет
первому из уравнений (2), то мы можем переписать его следующим образом:
^+? = 0. (.2)
и уравнение (11) тогда примет вид
d2x . рх V 1 I V
dt2 г
§ 5.02. Оскулирующий эллипс 83
Из уравнений (1) мы получаем
Кроме того, так как x = F,(t, а,, (3,). то
dt dt ' 2d da, l' 2d d$, ’ *1’
Ho
dF, _ dx dFt _ dx dFt _ dx
dt dt ’ da, da, ’ d$, d$,
it поскольку, согласно формуле (9), dx/dt — dx/dt, мы получаем
(13) и (14) являются важными формулами, из которых, как мы увидим ниже,
будут выведены уравнения, связывающие а,, а2, ..., {З3 и производные
возмущающей функции R.
§ 6.02. Оскулирующий эллипс
Пусть на рис. 12 Р означает положение планеты в момент Если предположить,
что в этот момент возмущающие планеты прекращают свое действие на тело Р,
то его орбита будет эллипсом PQ
с постоянными элементами а0, е0 /0. Координаты планеты Р
тогда будут выражаться x = F(t0, а0 /0) и двумя аналогичными
Рис. 12.
функциями для у и г. Аналогично составляющие скорости в эллиптическом
движении в момент t0 при использовании обозначений предыдущего параграфа
определяются соотношением dx/dt = х =
= О, (t0, а0 /0) и соответствующими выражениями для у и г.
Кроме того, если мы предположим, что х, у, z и х, у, z в момент t0
известны, то мы будем иметь необходимое число уравнений для определения
шести элементов а0 /0 эллипса.
Действительная орбита планеты, когда принято во внимание действие
возмущающих планет, будет отличаться от эллипса. На рис. 12 показана
часть действительной орбиты РР'. Поскольку в момент t0
6*
84
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
составляющие скорости в действительном движении те же самые, что и при
эллиптическом движении (dx/dt = dx/dt и т. д.), то касательная к
действительной орбите в точке Р будет совпадать с касательной к эллипсу в
этой же точке. Эллипс PQ называется оскули-
рующим эллипсом для момента t0, а постоянные а0, е0 /0 —
оскулирующими элементами для момента t0. Плоскость оскули-рующего эллипса
называется оскулирующей плоскостью для момента t0 и может быть
использована в качестве основной плоскости вместо плоскости эклиптики.
Моменту tv следующему непосредственно за t0, будет соответствовать новый
оскулирующий эллипс с элементами a,,..., /lt связанными с новыми
координатами и составляющими скорости планеты в ее действительном
движении. То же самое мы будем иметь
и для моментов t2, t3, .... Разности а, — а0 /j —10 называются
возмущениями элементов за время I, —10. Скорости изменения этих элементов
в точности равны производным аг, |Зг, о которых говорилось в предыдущем
параграфе. Возмущения в координатах х, у, z определяются аналогично.
§ 5.03. Использование оскулирующего эллипса для эфемеридных целей
Покажем, что для малых интервалов времени положение планеты на ее
действительной орбите незначительно отличается от соответствующего
положения на оскулирующем эллипсе. Это обстоятельство используется при
вычислении эфемерид планет для малых интервалов времени.
Пусть на рис. 12 Р'(х, у, z) — истинное положение планеты в момент t и
Q(x', у', z') — соответствующее положение на оскулирующем эллипсе. Будем
отмечать значком нуль значение какой-либо величины в момент t0. Полагая
Дt = t —10, получаем
Тогда, поскольку в момент tQ x0 = Xg и (dx'/dt)Q = (dx'/dt)0, при
ближенно имеем
и
или, учитывая равенства (1) и (12) § 5.01,
0)
§ 5.03. Использование оскулируюцего эллипса
85
Пусть а означает большую полуось эллиптической (оскулирующей) орбиты,
соответствующей точке Р, выраженную в астрономических единицах, а Т —
период в годах. Тогда, если пренебречь отношением m/m0, получим
4яJa3 п
