Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
71
Интегрируя последнее равенство, получаем
п
—М/) = сз- (1)
Аналогично
П
—46) = *,. (2)
1
п
2 ml — С2' (3)
В этих уравнениях cv сг и сг — постоянные. Формулы (1) — (3) иногда
называют интегралами площадей. Их полная интерпретация за-
ключается в том, что сумма моментов количества движения п масс
относительно каждой оси координат есть величина постоянная.
§ 4.05. Другие доказательства результатов § 4.03 и 4.04
1. Предположим, что начало координат смещено в точку (а, р, f) и что
новые оси координат параллельны старым. Пусть хх, yt, zt— координаты тела
Pt относительно новых осей. Тогда
^ = + С, = *, + т (1)
и U (?, tj, С) преобразуется в функцию U1(x, у, z\ а, р, Поэтому,
используя уравнения (1), получаем
0U, _ у dU _ у dU 0
Lk ag/ ’ да — и w
i i
IT я про
а?,=2«,-«!=2(*<—*/>!
tV хуг
и, следовательно, Ux не содержит а, р или if; поэтому dUJda = 0, так что
равенство (2) принимает вид
Y о.
Zj as,
Отсюда и следуют интегралы (8) § 4.03.
2. Предположим, что оси ?hi| повернуты в их плоскости на некоторый
положительный угол 6 и что координаты тела Р, относительно этих новых
осей суть xt, yt, zx. Тогда, опуская на время индексы, запишем
? = X COS 0—у Sin 0, TJ х sin 0 —J— у cos 0, C = z, (3)
72
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
откуда
& дг1
W- дЬ ~^
При помощи формулы (3) ?/(;, т), С) преобразуется в функцию U2(x, у, г,
0) и на основании формулы (4) будем иметь
дв дв + дгц до ) — 2i\ ^ dSi dry)' (&'
Но, как и в п. (1), Д?;= 2 (*i— */)2> так чт0 ^2 не содержит 0.
х, у, г
Поэтому dU2/dB = 0, и формула (5) принимает вид
S ^1г)=0 или 2т'в^~^)=0,
откуда, интегрируя, получаем
(«А — ^i) = c3,
что совпадает с равенством (1) § 4.04. Интегралы площадей (2) и (3) §
4.04 получаются аналогично.
§ 4.06. Интеграл энергии
U является функцией только координат -fy, (7=1, 2..........я).
Кроме того, ?/ не зависит явно от времени. Поэтому
dU (dU f . dU •. dU t \ V
ЧГ = 2j + ~3^ ъ + асГс<]= 2j ^ ^+W =
1 1
л
=тж2>'(3+’й+'%-
1
Кинетическая энергия Т системы я тел запишется так:
Л
г=т1Х$-К+ф. <2;
1
Таким образом, формула (1) принимает вид
dU _ dT dt ~ dt '
откуда
Т —U = С, (3)
где С — постоянная.
§ 4.07. Формула - 2U + 4C - 2Г + 2C
73
Поскольку на основании § 4.02 —U есть потенциальная энергия системы,
формула (3) выражает собой постоянство полной энергии системы.
Формула (3) дает последний, десятый из известных интегралов в общей
задаче п тел.
Следует заметить, что в небесной механике метод решения, который был
использован при выводе известных интегралов, не дает возможности получить
многого. Поэтому решение отыскивается методом последовательных
приближений, который оказывается практически удобным методом либо
вследствие геометрических обстоятельств, таких, например, как в теории
Луны (где отношение геоцентрического расстояния Луны к ее расстоянию до
Солнца мало), либо обстоятельств, имеющих место в теории планет, где
используется незначительность масс планет по сравнению с массой Солнца.
§ 4.07. Формула (d2/<//2)2mj/tf = 2t/ + 4C=27’+2C
В этой формуле /?, — расстояние тела Pt от начала координат, которым
может быть центр масс системы п тел.
Умножая уравнения (3) § 4.01 на ^ и С/ и суммируя, получаем
Однако U является однородной функцией координат порядка —1, и поэтому на
основании теоремы Эйлера имеем
П
п
п
2 «I (hit+ч а+сА)=2 (б| Щ-+vi ^ 4^) •
1 1
л
(1)
или
Л
(2)
(3)
Поэтому соотношение (2) принимает вид
74
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
Согласно формуле (2) § 4.06, второй член левой части последнего
соотношения равен —27'. Кроме того,
«| + Ч1+Й = л*
Следовательно, мы получаем
2 474-2^ = 0.
или, используя равенство (3) § 4,06,
^«1^ = 211+АС = 2Т + 2С. (4)
В этой формуле U и Т являются величинами положительными. Поэтому, если С
положительно, или отрицательно, но при этом |С| < Т или |С| < l/2U, то
правая часть равенства (4) будет положительной и, следовательно,
((fi/dt2) 2 mtR2i положительно. Поэтому (d/dt) 2 mtR\ будет увеличиваться
неограниченно, откуда заключаем, что по крайней мере одно из Rt будет
неограниченно возрастать. А это приведет к тому, что по меньшей мере одна
из масс покинет систему. Для устойчивости системы в смысле отсутствия ее
рассеивания необходимо, чтобы С было отрицательным и таким, чтобы
выполнялось условие |С|>Г или |С|> l/2U. Это условие, однако, не является
достаточным для устойчивости системы.
§ 4.08. Неизменная плоскость
Обратимся к интегралам площадей (см. § 4.04). Они имеют вид
2«i<c,s,—U)=c2. w
eV)i)=c3.
Выражения, стоящие в левых частях этих равенств, являются направленными
величинами, представляющими собой проекции полного момента количества
движения системы на оси 5. т| и С соответственно. Поэтому можно найти
некоторую ось ОВ, которая совпадала бы с направлением полного момента
количества движения А системы. Если lv mv «j — направляющие косинусы ОВ,
то
1\А ™ Г], /п^А — с2, п^А — с2,
откуда
Л ___ ni\ я, (2)
