Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
00
~= 1 +je2 — 2е ^[J„ (пе)] cos пМ =
л=1
= 1 е2 — [е — у е3) cos М —
— -^eJcos2Af—-|-e3cos3Af— .... (14)
4) Разложение Е.
Исходя из уравнения Кеплера
E = Af + esinE, посредством формулы (13) находим
СО
Е = Ж + 2 ^-iyfl(«e)sinrtAf. (15)
п-1
5) Разложение а/г.
Из уравнения Кеплера мы имеем
dE а
62
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Поэтому, дифференцируя равенство (15), получаем
СО
1 +2^yn(ne)cosnAl. (16)
Л*1
6) Разложение ri/ai. Имеем
m(-i)=swii'4M=2esinE==4'IiifJ'>(пе) s,n пМ-
л= 1
Следовательно,
оо
= С—4 J„ (пе) cos пЛ1.
г»
As]
где С — некоторая постоянная. Но так как
•jjr = 1 + е2 — 2е cos ? + -i- е2 cos 2Е, то на основании формулы (9)
непериодическая часть г2/в2 есть 1 + — 2*(— или 1 -4- Л
Поэтому
ОО
= 1+| «*-42^/.(ад) cos лЛ1. (17)
А* 1
7) Разложение cos /.
При помощи формулы (16) находим
е cos / = — 1 •+ (1 — е2) у ??
1 -f 2 ^ (пе) cos пМ . Я»1 -I
= — 1 +(1 —**)
Поэтому
cos / = — е-\- ^ уд (пе) Со$ яМ. (18)
л= 1
8) Разложение sin /.
Имеем
1 / < Л n 1 1 /" | ~п (/Г
§ 3.tt. Разложения в тригонометрические ряды
63
Но
dr dr dM г dr
dE~~ dM ' dE ~ a dM ’
Следовательно,
V\ — e7 d (r
, . VI — e3 d (r\
f e dM (a)
и вследствие формулы (14)
00
81п/ = 2/Г^21^[Уя(яв)]81пяЛ1. (19)
п— 1
9) Разложения cos //г2 и sin //г2.
Пусть 5, tj — координаты планеты в плоскости орбиты. Тогда
— = cos? — е, — — 1Л—e2sln?, а а '
Поэтому, принимая во внимание формулы (9) и (13), имеем
СО
7 = — | е-\-2^^-^Уп{пе)]созпМ. (20)
/1=1
СО
1 = 7^1 — е2 St J„(ne)slnnM. (21)
я= 1
Но
5 = г cos/, t\ = г sin/,
поэтому
6 COS / 1)______ sin /
гэ — rj > гз — —рг •
Кроме того, уравнения движения имеют вид
н-4=о, ^+^.=о.
или, так как М = я(/— т) = (рд-3),/,(/— т), то
Поэтому
d d d3 , d* d*
dt —n dM 11 dt3 —n dM3 ~1x0 4№
d4 , аЧ _0 d3r\ a*v _ dM3 "Г- r3 ' dM3 "Г- r3 ~~
64
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Следовательно, из выражений (20) и (21) находим
J_ == = .2. ? IJn (пе)\ cos пМ, (22)
Ля 1
S ДJn (пе) sin пМ. (23)
Я= 1
В Дополнении (стр. 490) приводится несколько первых членов рядов,
представляющих функции J„(ne) и (d/de)[J„(ne)].
Указания, касающиеся числовых таблиц функций Бесселя, можно найти в
«Указателе математических таблиц» Флетчера, Миллера и Розенхеда *).
') A. Fletcher, J. С. Р. М111 ег, L. Rosenhead, An Index of Mathematical
Tables, 244—270, London, 1946. [Таблицы функций Бесселя см. также в
книгах: Е. Я и к е и Ф. Э м д е, Таблицы функций с формулами и кривыми,
Изд. 2-е, Гостехиздат, М. — Л., 1949; Б. И. Сегал, К. А. Семендяев,
Пятизначные математические таблицы, Изд-во АН СССР, 1948. — Прим. ред.]
Глава 4
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ИЗВЕСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 4.01. Силовая функция
В этой главе мы займемся задачей нескольких тел (материальных точек),
образующих в пространстве изолированную систему. Предположим, что имеется
п таких тел: Рх, Я2 Рп с массами тх,
щ, ... тп и координатами (5,, ?),, (S2, ?)2, .....(?„, т)я С„)
относительно инерциальной системы осей (системы Ньютона). Если Я,—тело с
массой mt и Д,у— расстояние между Рх и Pj в момент t, то потенциал в
точке Pt будет выражаться формулой
Тогда уравнение движения тела Pt в проекции на ось ? будет иметь вид
и, в частности, уравнение для тела Рх запишется в виде
“Л=0ж(тг+т?+-+т?)-
Если 1Ф 1 и У > /, то Д;у не содержит координат тела Рх. Поэтому
предыдущее уравнение не изменится, если к его правой части прибавить
следующее выражение:
или
П
(1)
т^тз | т%т±
д23 д24
ст8ст4
татп
5 У. Сиарт
66
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
Пусть U определяется формулой
)>i. л
<=i J 1
Здесь U — симметричная функция всех рассматриваемых материальных точек.
Следует заметить, что двойное суммирование включает член, содержащий
произведение масс mtmj только однажды.
Уравнение для координаты ; массы ml теперь представится в виде
v ди
Очевидно, что уравнение для координаты ; массы тп1 будет
;• ди
а вся система уравнений движения мпссы mt запишется в виде
dU •• 6U
. 1 <3>
Функция U, определяемая формулой (2), называется силовой функцией.
Итак, имеется Зл уравнений движения, которые нужно решить, и поскольку
каждое уравнение второго порядка, полное число произвольных постоянных,
которые должны появиться в общем решении уравнений, равно 6л. Система
уравнений (3) обладает только 10 известными первыми интегралами, которые
будут получены в § 4.03— 4.06. В случае, когда л = 3, такая задача
называется задачей трех тел.
Важное метрическое свойство силовой функции U состоит в том, что она не
зависит от выбора системы координат, так как в нее входят только взаимные
расстояния Д^, определяемые формулой
Д/у=«, - е/+о?, - fijf+(с, - с/
Например, если изменить начало координат или ввести новую систему осей,
полученную путем произвольного поворота первоначальной системы, то Д 1}
не будет зависеть от новой системы, так же как оно не зависело от старой.
§ 4.02. Интерпретация V
Мы покажем, что U представляет собой полную работу сил притяжения п
