Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
*d\dq ~др~^~ 1 dpdqj C0S dpdq~^~S П Up ~5q dpdq' ^ ^
Заменяя в формуле (9) p на q, будем иметь
. dU . dm* , дп* , дй д<л
Продифференцируем последнее равенство по р. Тогда у/<Э/, <М„ . .
д*/2 \_
Zd\dp ’ dq “l_<1 dpdq)~
, d*Q . , , dQ di а*» ....
— C0S/dpdq +Sin dq ' dp dpdq' ^ ^
Вычитая равенство (10) из равенства (11), получаем V«(/i./i)_. -lnfd(Q,0
Imn
§ 5.07. Вычисление 1РМ {У
Пусть рг —два любых элемента из 2, о>, I. Так как 5, !?’ и у, у не
содержат этих элементов, то 2 будет означать суммирование
§ 5.08. Вычисление [а, (5]
93
по /, м и п:
IP,- P«I = 2i[(s3j7+4'3?7)(i'3S'+''357)] —
-2[(«*+ifc)(‘?+*fc)]-
Но — ?tj = A, где А — постоянная интеграла площадей, определяемая
формулами (5) или (6) § 2.04. Поэтому, используя равенство (12) § 5.06,
мы получаем
М=-А!'л,гжНз- <•)
Если рг = ш и или /, то из формулы (1) найдем
[<о, 2] = [<о, /] = 0.
Если (Зг = 2 и (3*=/, то 5(2, /)/5(2, /)=1. Поэтому па основании формулы
(1) получаем
[2, /] = — A sin/.
Сводка результатов. Значения скобок типа [(3,, (3J таковы:
[2, /] = — A sin/, [<о, 2] = 0, [о>,/1 = 0. (2)
§ 5.08. Вычисление [а, ?]
Здесь а — любой из элементов а, е, Р—любой из элементов 2, о»,
/; 5, 5 и т), т) — функции а, a lv /2 д2— функции (3.
Следовательно, мы имеем
I*- 1« = Е[('.§ + '>?)(Цг + ;!ж)]-
Но /^+ т\-\- «1 = 1. Поэтому
Аналогично
V/ _______
5?
Кроме того, так как /1/2 + т1т2 + д1я2 = 0, то
^ r dl2 f dl
94
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Таким образом, формула (1) принимает вид
Но из равенства (9) § 5.06 имеем
S, dlt , dQ да>
k = ^ — bi =» №a (1 — «*)]%.
r oi I , dQ . du> \ dh
[a, p] ^cos/-gp- + -5p-J15r.
Если a = x> то dk/dx = 0; следовательно,
[X, 2] = [Z, 4 = IX. *1 = 0.
Если р = /, то [a, f] = 0; следовательно,
[a, /] = [*. i\ = lX, t\ = 0.
Если p==2, то [a, 2]= — cos t(dh/da); следовательно, так как [a, 2] = —
i»a j/ 1 —e2cos t,
Кроме того, Поэтому
(j, = п2а3, имеем
2
па:
2а
[е, 2] = cos *•
1 У I — е*
Если р = о>, то [а, а>] =— дЩда.. Поэтому [а, ш] — — — naY 1 — *2* [«•
®] =
nd*e
У\=7*'
Таким образом, вычисление всех скобок вида [а, р] закончено. Сводка
результатов.
[a, i] = \e, f] = [z. 2] = [Z, Ш] = [Х, /] = 0.
[a, 2] = — ^naY 1—e2cos/, [a, a»] = — па у 1 — e2, (3)
паге , , , паге
[e, 2] = ? cos /, [e, u>] =
У 1 — e2 ’ У1 —,
§ 5.09. Вычисление [ar, a.l
95
§ 5.09. Вычисление [аг,
Поскольку направляющие косинусы не содержат а, то
- 2 [('i +'* -ft-) ('? S7+'h ^г)]?
ИЛИ
[аг, eg = //е’ + J ^ ^ . (1)
r s д («г. *s) д («г. as) V ’
Воспользуемся теперь свойством (d/dt) [аг, а3] = 0. Скобки Лагранжа
постоянны при всех значениях t и, в частности, при таких значениях t, при
которых п (t — т) мало. Тогда Е будет также малым и мы можем написать
уравнение Кеплера следующим образом:
Отсюда с точностью до членов третьего порядка относительно n(t — т)
находим
причем значение А нас не интересует.
Следовательно, мы имеем
cos?=l-2(1^g)a (/-т)2, sin? = ^=^ + B(/-T)3 и поэтому
5 = Д(1_<,)__^_(/_,)2+ (2)
4 = -aXL~e* + т)3 (3)
• Л/}«
l = --nzhv2(t-') + D(t-x)\ (4)
О-*)2
^naVT^ +E{t_x?t где значения В, С, D и Е для нас не представляют
интереса.
(5)
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Мы сначала примем, что я суть а, е и т. Обозначим через (дуда) значение
д~/да при t — т = 0. Из формул (2) и (4) имеем
(?)=>-«• (?)--*• (1-)=° (#)=»• (#)=»• (#)=(Т^'
Поэтому интересующие нас якобианы, вычисленные при / = т, равны
(6)
д(У I) „ д (=, J) в*я*
д(а, е) ' d(e,i) (1— е)г '
д(1 I)
д (т, а) 1 — е
Кроме того, из формул (3) и (5) находим
па УГ^ё*
(?)-«• №)-»• (5):
(!)
1 —е
/ д-г\\ У \ — е2 д (па) ( ^\ па ( \ — |
\<Эа/ 1—е да ’ \<?в/ (1—е)У\— е2 \дт/
Поэтому якобианы, вычисленные при / = ?, равны
д (•'I- ч) 0 d(rj, -jj) а*п3 д (а, е) ’ д (е, т) (1 — е)s ’
д i) _ _ аяа (1 + е)
д(?,а)~~ 2(1— е) '
Из формул (1), (6) и (7) имеем
[а, е] — 0, [е, х] = 0 (8)
и
[т, а] = — IJL = — jan2. (9)
Легко видеть, что если 5, tj, tj в формуле (1) выражены через а,
е и х вместо а, е и т, где х~— п~< то
[а, <?] = 0, [е, х1 = 0. Iе- Х1 = —jna. (10)
§ 5.10. Уравнения движения планет
1) Итак, мы вычислили все скобки Лагранжа. Понимая под «t, а2, а3
соответственно а, е, х и П°Д Рр Рг- Рз соответственно 2, ш, /, найдем,
что если значения скобок, вычисленных в § 5.07—5.09, под-
$ S Ю. Уравнения движения планет
97
ставить в уравнения (7) и (8) § 5.04, то эти уравнения примут вид — -g-
па/ч — -g- па Y1 — е1 (cos г • Q <1
па2е
Отсюда получаем
OR
' да ’
dR
де
dR
~ <*/. '
OR
Oil ’
OR
do)
OR
• di
1
-g-лаа
i""
па* Y\ — e2sin/• 2 = ‘75Г<
(2)
= _ I-*2 «ж 2_ м
'• паге де па да ’ ' '
2 —----------------------- — . (4)
паг V1 — е* sin I di
Vl — е2 dR ctg/ OR /сч
(o = > — , (5)
na2e de па2 у 1 — e2 di
di 1 / , . dR . dR\ „
— = ? -.j_I ctg i-cosec I — I. (6)
dt па2 У1 — e2 \ da> dQ J
Эти уравнения и являются уравнениями движения планет в переменных а, е,
2, to, I.
2) В теории планет обычно заменяют элементы и> и х на ш и s. Если R'
