Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
и Из формул (3) и (7) немедленно получаем уравнение
- 1 dU 1 dU
т, ?, ’ w
а из формул (5) и (7) — уравнение
•• _ 1 dU 1 dU тгх
1 т3 Й53 т, dS| m, -f-ms ’
которое, с учетом формулы (8), принимает вид
••___1 dU 1 (dU , дЦ\
Хх т3-Щ- wii + m* \ д1{ di3 }’
Однако, согласно равенству (3) § 4.03, при я = 3 имеем
dU.dU.dU п
1?Г+ЯГ + Ж = 0‘
Поэтому
" _ wi + wa-f ст» dU /л\
1 тз(л*1 + л*а) dit ’ ' '
Далее, из формул (5) и (6) следует:
r2 — x2-\-y2-\-z2,
*-2л-*-2(*.-==?гГ
78
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
Следовательно, функция U выражена через х и у и у,, z и zv Используя
формулы (3) и (4), получаем.
дЦ ^ дЦ дх.дЦ дхх _ дЦ от, дЦ
<55, дх ' <J«, ' dxt " дх /и, -(- m2 dxt
Аналогично
dU _ дЦ /и, дЦ дЦ _ дЦ di2 дх /я, -(- т2 дхх ’ dxt ‘
На основании этих равенств уравнения (8) и (9) принимают вид
"x=m1±mLdU
тхт2 дх ' '
" ___ л»1 Ч~ т2-\- /и3 дЦ ....
1 /и3 (/и, -f т2) dxt ' ' '
Положим
(х = 0(/я1 + /я2). (12)
Тогда, подставляя в уравнение (10) выражение для U из
формулы (1),
получаем
, v-x _ dR X~i~ г3 — дх ’
где R — возмущающая функция для Луны, определяемая формулой
п _ G/Нз (т] -f т2) ( т2 , /и, \
R~ т^Г2------------ГГ"T"STr (13)
Поскольку г не зависит от у,, zv то уравнение движения
Солнца для оси х на основании уравнения (11) имеет вид
" _ 0(/И| + /иа +/и3) д (т2 | /и, \
1 /и,-(-/и2 dxi \ Д “г- Д! )’
Удобно использовать функцию F, определяемую формулой
р т2 I /И|
д ^ дГ’
и заменить mv т2 и Щ соответственно на Е, М и 5. Тогда получим
М , Е_
''“ТГ+Г <14)
§ 4.09. Системы координат, используемые в теории Луны
79
и уравнения движения Луны и Солнца принимают вид », у.х .... GS(E+M) дР
ЕМ дх’ Q(E-f Af-f S) дР
Е+М dxt '
(16)
Эти уравнения являются основными уравнениями в теории Луны, и, как мы
покажем в § 7.03, их преимущество заключается в том, что с высокой
степенью точности движение Солнца относительно С (рис. 11) можно
рассматривать как эллиптическое и, следовательно, координаты xv yv zx, от
которых зависит функция F, могут быть выражены при помощи формул гл. 3
через время посредством средней аномалии Солнца.
Глава 5
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА
§ 5.01. Замена переменных
Уравнения движения планеты Р (масса т) под действием центрального
притяжения Солнца (масса тq) и притяжения планет Pv Р2, ... (массы т,, щ,
...) были получены в § 1.07. Они имеют вид
г» дх’ г8 ~ ду ’ + г3 ~ дг ’ ^
где {i = 0 (т0 -f- т) = я2а3 и R — возмущающая функция. Мы будем
предполагать, что в качестве основной плоскости взята плоскость
эклиптики, а ось х направлена в точку Т-
В этой главе мы изложим метод, предложенный Лагранжем и часто применяемый
в теории движения планет. Этот метод основан на преобразовании уравнений
(1) к виду, удобному для их окончательного решения.
Рассмотрим сначала решение уравнений невозмущенного движения планеты Р.
Эти уравнения имеют вид
?+ 7Г = 0. ? + -^- = 0, ? + ^ = 0. (2)
Решение уравнений (2) дается формулами (2) § 2.15 в виде функций
эксцентрической аномалии Е и направляющих косинусов (/Р т1, л,) и (/2,
т2, я2), которые выражаются через элементы 2, w, I формулами (3) и (4) §
2.15. В частности,
x = allcosE-\-bl2sinE— aelv (3)
а аналогичные формулы для у и г содержат /л,, т2 и л,, л2 соответственно.
Формулы (9) и (13) § 3.11 показывают, что cos? и sin? можно представить в
виде
ОО
cos ? = — -j е + ^ Os cos sM,
j=i
00
sin? = SDjSinSiW,
§ 5.01. Замена переменных
81
где М — средняя аномалия и Cs и Ds зависят от функций Бесселя, содержащих
эксцентриситет е.
Если подставить эти выражения в формулу (3), то можно легко увидеть, что
разложение для х имеет вид
je = i4+2JZJcos(/,Af4- jo _|_ ?<0^
где А и В — некоторые функции а, е, I, а /,, у, k — положительные или
отрицательные целые числа, включая и нуль. Для у и г имеют место
аналогичные формулы. Пока мы не будем вникать в подробности этих
разложений, поскольку нам важно сейчас только то, что х, у, г даются в
виде известных функций времени и шести элементов орбиты, причем время t
входит посредством средней аномалии М. Нужно заметить, что в ближайших
параграфах этой главы для удобства при аналитических выкладках мы будем
иметь дело не с элементами х или е, а с элементом х> который входит в
уравнение Кеплера следующим образом:
Е — esin E = nt-\--/. (4)
Кроме того, удобно обозначить элементы а, е, х через а,- (/ = 1,2, 3), а
элементы 2, о», / — через р, (/=1, 2, 3).
Тогда решение уравнений (2) может быть представлено следующим образом:
x = Fl(t, а,, р,). у = F2(t, а,, р,), г = F3(t, а,, р,.), (5)
где Flt F2, F3 — известные функции времен и элементов.
Аналогичным образом составляющие скорости (дх/dt, dy/dt,dz/dt) планеты Р
в невозмущенном движении можно представить в виде
= О, (/. а,. Р,). 45- = о, (/. а,, Р,), ^ = 03 (/, а,, р,), (6)
где d/dt означает дифференцирование по времени, причем, конечно, аир
рассматриваются как постоянные. Так как
(1—е cos Е) ?== ~Ё = п, (7)
то, например, для функции О, найдем, согласно формуле (3), следующее
