Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
\ др ,1. 1 —е ’ др '
Поэтому, так как р = и2а3, то
Й—= —Ml+i). А /Зч
а(1— е) др ’ (й>
Если использовать равенства (2) и (3), то формула (1) примет вид ^ (it
да .. дй . дю ...
c/' = -2^a7-Acos/a7“A^ (4)
г ли, заменяя — т на yjn, а р. на п2а3,
s> 1 да . , dQ . dm
р==~2 па% ~др ~др ~др ’ (5)
§ 5.13. Общая формула для \р, 9]
Запишем формулу (4) предыдущего параграфа следующим образом:
^ д i р \ , dm . , дй ...
cp=—t-^(--^)-l,-s?-hC0stip- <•)
§ б.14. Вычисление скобок Лагранжа
103
Аналогично
'ч * dq
C„ = -^[--^)-h^-hcos>^. (2)
Так как, согласно равенству (10) § 5.11,
\Р’ ^ др dq ’
то из формул (1) н (2) мы получаем общую формулу для скобок Лагранжа
д1 а(~Т’~~^) , <?(«. А) , д (Q, A cos Q \Р’Я\— o(p.q) + d(p.q) + d(p.q) ’
W
г„е А = /|»в(1 —e*j.
Заменяя —т на //», мы представим эту формулу в другом виде:
д[г _ JM
|„ Д1 \п‘ 2д/ I <?(».. А) I ДР*. A cos о ,4
9 <*(Л tf) Я) ^ d(p,q) * '?
Если заменить т (или ?) и ш на г и ш, так что
е — 01 ~ 0
т —-----------И и) = ш — L’,
п
то формула (1) примет вид
„ »— со |* да .Л* . . йО
^ = -1Г---5йг-Эр-Л др+Л(1“С08/>^* (5>
а формула (3) запишется следующим образом:
л( * — ш (1 \
г_ *4 « * 2а / , А(ш — Q, А) , d(Q. Acos/)
+ '''*<Я*Г' + _3<а g)— (6)
§ 6.14. Вычисление скобок Лагранжа
Любая скобка Лагранжа может быть легко вычислена по общим формулам (3)
или (4) предыдущего параграфа. Например, если р = а. q — ?2. то
п. д (Q. A cos О 1 * “* д (a, Q) ’
т. е.
fa, Q) == — cost ^- = —у па Y1 —ег cost,
что согласуется с формулой (3) § 5.08.
104
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Другой метод вычисления скобок следует нз определения Ср по формулам (5)
или (4) § 5.12. Придавая р по очереди значения а, е, у;, 2, ю, /,
получаем
Са = -уЯв)?, Се = 0, С^ = О,
Са = — Л cost, Сш = — Л, С1 — 0.
Поэтому, как и раньше, найдем, например,
_ дСо дСа dh 1 ,--
1а> 21==-^—w=-cosl-&r=-2na V1 ~е cosL
Мы можем, таким образом, вычислить значения пятнадцати скобок Лагранжа,
которые были найдены в предыдущих параграфах.
Если в качестве элементов приняты а, е, I, е, ш н 2, то соот-ветствующие
значения Ср, согласно формуле (6) § 5.13, равны
С. = С| = С, = 0.
С~ = — Л, Са = (1 — cos О А.
Девять скобок равны нулю. Выпишем не равные нулю скобки:
[а, ?] = —j па, [а, о>] = — па (l — у\ — е2),
|e. 2] = iпа уГ=^(1-cos/). 1<?. 0)] = -^==-. (1)
[е, 2] = — па2е , [i, 2] = па2 Vl^T2 sin /.
у I —в2
§ 5.15. Вывод канонических уравнений
В предыдущем параграфе мы брали в качестве р (или q) один из элементов.
Однако если взять в качестве р (или q) некоторые функции от элементов, то
мы можем получить более простые уравнения.
Пусть ар а2, otj и рр р2, Рз означают независимые функции одного или
большего числа элементов, определяемые формулами
<*1 = —а2 = Л. a3==Acos /. (1)
Pj — т, р2 — to, р3 — 2.
(2)
§ 5.15. Вывод канонических уравнений
105
Согласно примечанию на стр. 88, уравнения Лагранжа в самой обшей форме
имеют вид
з з
dR
2 [*,. *i + 2 I*,. Р,1 Р/ = -gj- •
/=i /=1 '
3 3
]?[?,. «/1 ii + SlPr- P/1 Р/ = ^--
где г принимает значения 1, 2 и 3.
Выражение для Ср через новые постоянные а, и согласно формуле (1) § 5.13,
имеет вид
Аналогично
Поэтому
дСс
р, да, "др" — а2 др, др дрз, з др
С, = р, да, W — а2 <?Рз dq —п ill 3 dq
дСр ^(«1. Pi) д (а,, р,) д К Рз)
dq <*(р. q) д (p. q) д (p. q)
[а,. р,) = (сь,, Р21 = = [«3. Рз1== —1.
1Р* ^1 ftp Зл “ ft (п л\ ft {п л\ ft i п
л\ 9
откуда
а все остальные скобки равны нулю.
Уравнения Лагранжа тогда приводятся к виду
а ^ п_ дУ? а _ dR ш ...
Pi — * Рг-------7Й7’ Рз---------аГ" • (4)
da, ' W ~ да, ’ ГЗ -^7
дУ? • _ dR dR
дР, ' “2 “ др, * “з — дРа •
(3)
Уравнения (4) и (5) называются каноническими уравнениями, а переменные
а(, ^ называются сопряженными каноническими элементами. Мы встретимся с
каноническими уравнениями, их свойствами и их решением в последующих
главах.
Заменяя —на мы можем записать формулу (3) в виде
Ы\
Следует помнить, что вообще р и q — любые независимые функции элементов.
Однако в качестве них могут быть приняты любые два
106
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
элемента, скажем ат и as. Тогда мы будем иметь такое выражение для скобки
Лагранжа:
которое будет использовано в следующей главе.
§ 6.16. Вывод Уиттекера общей формулы для скобок Лагранжа ’)
Если р и q — любые два элемента или вообще любые две функции элементов и
если Ар определяется формулой
Здесь х, у, z — координаты планеты Р относительно осей ОХ, OY, OZ с
обычной основной плоскостью и началом О в Солнце (рис. 14).
Пусть хх, у,, ?] означают координаты Р по отношению к осям ON, OR, OZ,
которые получаются путем поворота осей OX, OY на угол S. Тогда
cos 2— у, sin 2, у = хх sin 2 + у, cos 2, z — zv
') См. Е. Т. Whittaker, The Messenger of Mathematics, New Series, No. 309
(January, 1897).
(1)
то, очевидно,
(2)
Рис. 14.
§ 5.16. Вывод Уиттекера формулы для скобок Лагранжа
16/
Пусть, далее,
a = je + /y, v = х — ly\ ul = xl-\-lyl, vl — x, —/у,; 1=У—Т. Тогда
