Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
разложении бинома (1 + х)к. При этом предполагается, что У < к.
Из формулы (1) мы тогда получим
г*? = 1 + РТР Г [ 1 - С\р (ртг1) + qr (р^-1)8 -...} =
= а" (1 + р*Г ' {У - Срру-1 + qppv2 _...}.
4*
52
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Поэтому, беря в этом равенстве отдельно действительную и мнимую части, мы
найдем
rp cos pf —
= ар (1 + р2)" р [cos рЕ - $C2iP cos(p-l)E+tfC? cos (р - 2) ?-...], rpsin
pf =
= ap (1 + p2)"'p [sin pE - ре," sin (p - 1) E+ fc\p sin (p-2) E-... ].
Каждый из этих рядов будет конечным, если р — целое положительное число.
§ 3.09. Разложение гр cos qf и гр sin qf
Из формул (8) и (10) § 3.05 имеем
r« = «V( 1 + pT'(i _рг/-*(1 — 8тГ1)р+?. (1)
Здесь мы предположим, что р — положительное или отрицательное целое число
и что q — положительное целое число (это последнее предположение не
приводит к нарушению общности).
Мы имеем
(i-Np_?0-h-1),’+?=
=[ 1 + 2 (-1)" сГТч"][ 1 + 2 <—D" C+TVm]=
= 1 +p2cr?cf+?+p4cr?cr?+ • • • +
+ 2 (-О” т)л(сгт+етсгт+2+ • • •)+
+ 2 (-1Г +га {Срп+Т+сгда-т+2 + =
/и = 1 /
= 1 + 2 сГсрЛ~Т+ (2)
+ 2 (- N” (срп~я + 2 cp~icpk^k j + О)
+ 2 (—Р7!-1)” {Ср+Ч + 2 СРХ1СРЛ~4^. (4)
Далее, по определению с1+к имеем
rj _rj (j — n)(j — n—l)... (j—n — k+l) л+*“ (я +1)(л + 2)... (я + А)
~~
— С"С]* " (л -f-1) (я + 2)... (л -f- Л) ’ (5)
где я и Л — положительные целые числа.
§ 3.09. Разложение re cos qf и r* sin qf
S3
Выражение, заключенное во второй скобке в формуле (3), при помощи
равенства (5) приводится к виду
сГ'р +gcper- („+,,(„4Р]. (в)
Далее, если в формуле (1) § 3.04 для F написать —а, вместо а и —Ьх вместо
Ь, то получим
F(a, b, с; х) =
1 1 V г n*«i («1—l)-..(ai—Л-4-1) е wkb\(b\—1)...(6|—Л-(-1) j,
— *-1-^1 и *, и c(c-q:ij... (С_|_Л_1) ^ =
А= 1
= 1+2С*Ск' с(с + 1)... (7+Г=Т'1) **• (7)
А= ]
Поэтому выражение (6) принимает вид
CP~4F (— р — q, —p.+ q±n, я-f-l; f).
Положим
G„(p. q)==F(— p — q, —p + q + n, «+1; rf). (8)
Тогда выражение (3) запишется в виде
2 (— $-ч)Псп~Ч°п(Р> Я)- (9)
/2=1
Аналогично выражение (4) примет вид
?(-fЦ-Ч'СТЧОа(р, -q), (10)
/2=1
а выражение (2) с учетом формулы (7) — вид
G0(p, q). (11)
Таким образом, мы получаем
(i-Np“*0-P4-1)p+* = Oo(J1’. ?)+2(-N"cr?o„(p. я)+
(1=1
+ 2 (~ Pi*1)" Срп+чОп (р, - q). (12)
/2=1
Посредством преобразования (2) § 3.04 мы можем равенство (12) записать в
другой форме, а именно
Оп{р. ?) = (1-^+? F(-p-q, p-q+ 1, я+1; -73^)
54
Глава 3. Разложения функций в зллиптическйм движении
или, вводя обозначение
Тп(Р> Ч) = р{— p—q. Р — Ч+ 1. л-|- 1; —
так:
Оп{р. q) = i}-^P+4Tn(j), q).
Мы теперь имеем
(1-РпГ*0 -РГ’Г^О ~Р)Р+чТ0{р, ?) +
_(_(1_ру+« ^ (~ Р’))'* СРп~чТп (р, q) +
+ (1 -q). (13)
Преимущество функции Т по сравнению с О состоит в том, что ее разложение
сходится быстрее, чем разложение функции О, когда п является сравнительно
большим числом.
Так как
1 _f_ pa — V 1 е • то формула (1) примет вид
(i)P У=(1 - ‘2)/,/2[(1 ~ ^ Т<>{р' $ *+
+(I - Р? 2 (~ *>" РЯС»"'7’» о». q) j+n+
Л«1
+ (1_РУ«2(_1)УС?+,,7\,(/>. (14)
n=l J
Приравнивая действительные и мнимые части, отсюда находим / cos qf = A0
cos qE-\-^An cos (q + n)E+ ^ Bn cos (q — n) E,
Вя 1 nm1
(15)
sin qf = A0 sin qE+ An sin (q+л) E+ J] Bn sin (q — n) E,
D>1 nml
(16)
где
Ио = (1 -в2)р/2(1 -рУ Т0(р, q). (17)
А„ = (- 1)" (1 - ег)р12(1 — рУ С^Тп (р, q) р". (18)
В„ = (- 1)я (1 - •У'2 (1 - р2)"* С”чТп (р. - q) р". (19)
Рассмотрим следующие частные случаи:
§ 3.09. Разложение re cos qf и re sin qf
55
1) Разложение (rjaf.
Здесь q = 0. Поэтому
(l)P = A'o +2^^c°s«?. (20)
где
= /'(-/». /7+1, l; -тгр)' (21>
A'„ = (-l)n(l-ey'*F(-p. p +1, я+l; _ )Cjp*. (22)
2) Разложение a/r.
Здесь p =— 1, q = 0. Поэтому C„ = (—1)" и T„(—1, 0)=1. Из формул (20) —
(22) находим
7=ja=?(1+2Sf”“s“?)- та
3) Разложение a2/r2.
В этом случае р = — 2, 0 = 0. Поэтому С? = (—1)л(я+1) и T„(p.0) = F(2, -
I. я+1; -у^) =
“!+ (/*+i)\i — р») =='йягт1-п + (1 — 21‘
Из формулы (20) получаем
? = (1 - е*)~ 2 р + 2 2 (1 + Я УТ^Т2) рл cos . (24)
4) Разложения cos qf и sin qf.
Из формул (15) и (16) при /7 = 0 находим
cos0/ = A"q cosqE-\-^A"n cos(0 + я) Е + 2 cos(Я— я)Е, (25) sin 0/ = sin
0E+ 2j A”„ sin (0+«) ?+ 2j B'„ sin (Я — я) (26)
где
^ = (1—р2)?Го(0, 0). (27)
An = (- Dn (1 - Pf Г„ (0. 0) рл. (28)
В; = (-1)л(1-рТ?СХ(0. -0)Г (29)
56
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
5) Разложения cos/ и sin/.
Из формулы
1 -f- е cos / = у (1 — е2)
посредством равенства (23) получаем
COS/ 2 p»-i cos пе.
1
что может быть записано в виде
cos / =— Р + (1—Р2) 2 Р”-' cos пЕ- (30)
1
Это последнее равенство можно получить, выделяя действительную часть в
формуле
^-р+а-^ЗЖ-у.
1
Взяв мнимую часть этой формулы, найдем
sin / = (1 — р2) 2 Р"-1 sin пЕ. (31)
§ 3.10. Разложения некоторых функций от г н М в ряды, содержащие /
1) Согласно формуле (9) § 3.05, имеем
ер + рг1)
4 i+ре *
Сравним эту формулу с формулой (8) § 3.05, а именно:
ЧО— fo"1)
1-Рч •
Очевидно, что разложение любой функции от i| в ряд, зависящий от ?, можно
