Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смарт У.М. -> "Небесная механика" -> 26

Небесная механика - Смарт У.М.

Смарт У.М. Небесная механика — М.: Мир, 1965. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 140 >> Следующая

—Y?— — сш0,
где т0 — масса Солнца. Поэтому Для удобства положим R = От,/?,, где
д _ J хх> + УУ| + «1 .
откуда
Л
OR-, Х\ — х х,
(2)
дх Д3 г3 Таким образом,
'-«-«‘(яКЯт- О)
В качестве примера рассмотрим орбиту Земли, возмущаемую наиболее
массивной планетой — Юпитером. Тогда а = 1, m,/m0«10-3, 2я2 ж 20.
Предположим, что Д/ = 0,1 года. В таком случае Д//Т = 0,1 и формула (3)
принимает вид
• 2 • 10
-4 / а/?, \
\ дх /о'
Пренебрегая наклонностью орбиты Юпитера к эклиптике, мы можем выбрать
эклиптические оси координат так, чтобы в момент /0 координаты Юпитера
были (г,, 0), а если к тому же пренебречь эксцентриситетом, то они будут
— (а,, 0). Выражение, стоящее в правой части равенства (2), имеет
максимум в противостоянии, когда л:« а « 1 и Д «а, — 1.
Далее а, « 5. Поэтому
(dRx \ _ 9_
\ дх /о 400 '
Следовательно,
х — х’ « 4,5 • 10~6 а. е. « 670 км.
При сделанных предположениях, что y = z = 0 и у, = ?, = 0, возмущения в
координатах у и г равны нулю. Все возмущения, таким образом, падают на
координату х. Только что полученное возмущение в х имеет порядок минуты,
и для многих целей этой
86
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
величиной можно пренебречь. Таким образом, для малых значений Д/
оскулирующий эллипс будет давать достаточно точные значения координат
Земли на любые моменты, близкие к (0.
Возмущения орбиты Земли, вызываемые другими планетами солнечной системы,
много меньше, чем только что найденные возмущения от Юпитера. Это
объясняется главным образом тем, что массы этих планет значительно меньше
массы Юпитера.
§ 5.04. Уравнения для и {3(
Обратимся к уравнениям (14) и (13) § 5.01, именно:
(1)
V дх • | V дх a dR
XU dat *< + Zi dp, дх' ®
где I принимает значения 1, 2 и 3.
Умножая уравнение (2) на dx/dav а (1) на djc/da, и вычитая, мы будем
иметь
VI д* дх дх дх \ • .
^ \ да, " da, да, ' да, ) а1>
. \1 [ дх дх _ дх дх \ х _______ dR
2d \ да, ’ dp, dp, ' да, ) Р*— дх
I
или, используя обозначения якобианов,
vt д (.х, х) • , V д (?*> х) n _ dR дх
2d д (a„ at) 2d д (а„ р,) ™ дх ' да, ^
Так же можно получить аналогичные уравнения, содержащие у и z.
Складывая эти последние уравнения с уравнением (3) и полагая
. , _ д (х, х) , д (у, у) , д(г, г)
I I’ д (а„ at) ' д (а„ а,) д (а„ а,) ’
получаем
3 3
Sr 1 • I V Г 0 10 dRdx.dRdy.dRdz [*р «|1 Ч+ 2d М Р* = 17 • ЪГ + W ' +
йГ ' "й; '' • (5)
1 = 1 Ы1
§ 5.04. Уравнения для at и Pi
87
Выражения вида [ар aj, определяемые равенством (4), называются скобками
Лагранжа относительно ap at.
Но R— функция координат х, у, г рассматриваемой планеты и координат хх,
у,, zx возмущающих планет. Если выражения (5)
§ 5.01 для х, у, г, которые имеют вид x = Fx(t, pf),
У = /72(Л a/> Pi)> z = ai> Pi)« и аналогичные выражения для
xv ур Zp и т. д. подставить в возмущающую функцию, то R
станет функцией t, a,, и соответствующих аир, связанных с орбитами
возмущающих планет. Далее, элемент а, входит в R посредством х, у, г.
Следовательно,
dR дх . dR ду . dR дг dR
дх ’ да, ' ду ' да, ' ~дг ’ да, да, ’
Уравнение (5) теперь примет вид [ар а2] 02+ [ар а31“з +
+1*1. Pil Р, + [«,. Р21 Р2 + [«,. Рз1 Рз = -^ • (6)
Мы будем иметь три уравнения вида (6). Запишем их следующим
образом:
з
2 {[а,. а<]а, + К. Р/1 Р/1 =-^. (7)
/=1 ’
где г принимает значения 1, 2 и 3.
Аналогично мы можем получить уравнения, содержащие производные от R по
всем р. Они имеют вид
з
2nP'.«ii«i+ip,. мР/}=-^- (8)
/=1 г
Как мы покажем ниже, каждая скобка Лагранжа вообще является функцией лишь
шести элементов. Таким образом, имеется три уравнения (7) и три уравнения
(8), причем каждое из этих уравнений является линейным относительно ap
а2, ..., рз. Решая эти уравнения, мы выразим, например, а, через
производные R и различные скобки. Очевидно, выражения для а^ ..., (З3
имеют аналогичную структуру.
Точное алгебраическое выражение R известно. Ниже будет показано, каким
образом функция R может быть разложена в ряд, члены которого зависят от
at и (3,, а также от времени и элементов возмущающей планеты а и р. Но
сейчас достаточно заметить, что для dR/дat и т. д. могут быть найдены
вполне определенные выражения. Для того чтобы закончить предварительное
рассмотрение
88
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
равенств, которые дают и т. д., выразим скобки Лагранжа через а и р.
Примечание. Из метода, при помощи которого был установлен
общий вид шести уравнений для aj (З3, очевидно следует, что
мы получили бы уравнения точно в той же форме, если бы
величины <Xj, a2 (З3 рассматривались с самого начала как
независи-
мые функции одного или более эллиптических элементов.
§ 5.05. Свойства скобок Лагранжа
Обозначим через р и q два любых элемента из шести р(- или вообще две
независимые функции этих элементов.
Тогда по определению
г I V д(х, х)
IР> Ч\ 2d д(р, q)
хуг
1) [р> я\ = — [я- р]-
Это свойство следует из свойства якобиана, именно
д (х, *) д (х, *)
0 (Р> Я) ~ д (Я. Р) ‘
2) \Р> Р\= О-
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed