Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Это свойство является очевидным в силу определения якобиана.
3) -HflP.q] = 0.
Это равенство в сжатой форме выражает следующее: если х, у, г и х, у, г
выразить через t и элементы а, (3 посредством
равенств x = Fx(t, a<( ....... z = Q3(t, a<t фх) (или через t и
шесть функций р, q от элементов) и выполнить соответствующее
дифференцирование, то \р, q\ не будет зависеть от времени.
При доказательстве мы будем исходить из трех уравнений типа (12) § 5.01,
именно
Пусть V — р/г. Тогда эти три уравнения примут вид дгх dV дгу dV d*z dV
§ 5.06. Формулы для вычисления скобок Лагранжа
89
где
•• _ д*х
х — dt* ’
На основании первого уравнения (1) предпоследнее равенство запишется в
виде
д Г д (х, х) 1_ дх_ _d_ldV\_____J??_.______________
dt L d (p, q) j dp ' dq \dx ) dq'dp\dxj
d_ / dV_ ___________________d_ ldV_ _
dq \ dx ' dp ) dp \ dx ' dq )’
Поэтому
Ho
j?, .___ d \ dV dx________________d_ у dV_ dx_
dt lp’ gi~ dq 2d dx dp dp *d dx ’ dq '
xyz xyz
v dV dx _ dV
2d dx ' dp dp ’
xyz
V ЁХ- dx — dV
2d dx dq dq
xyz
Следовательно, мы имеем
4-1 Л?1 = °. (2)
что и требовалось доказать.
Значение этого свойства может быть кратко проиллюстрировано теперь же. С
широким же применением его мы встретимся ниже. Для того чтобы вычислить
скобки Лагранжа [р, q], мы должны найти производные дх/др, дх/др, ду/др.
ду/др, дг/др, д’г/др и соответствующие производные по q. После
дифференцирования мы можем, согласно свойству (3), придать t любое
желаемое значение.
На практике находят наиболее удобным полагать t — z, где т — мо-
мент прохождения через перигелий, так как при этом эксцентрическая
аномалия Е, которая входит в выражения для х.......
х согласно формулам (3) и (8) § 5.01, равна нулю.
§ 5.06. Различные формулы, необходимые для вычисления скобок Лагранжа
1) Выражение скобок Лагранжа через 5, •»).
Пусть х, у, г — координаты планеты относительно осей координат X, Y, Z
(рис. 13) с началом в точке О, означающей Солнце. Положение плоскости
оскулирующего эллипса и направление на перигелий относительно этих осей
определяется с помощью обычных элементов 2, и и /.
90
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Возьмем оси прямоугольной системы координат О А, ОВ в плоскости эллипса
так, чтобы точка А совпадала с перигелием, и обозначим через С полюс
большого круга NAB. Обозначим далее через т) координаты планеты
относительно О А и ОВ.
Пусть, как и в § 2.15, (/,, /я,, л,), (/2, т2, я2) и (/3, т3, Яд)
означают соответственно направляющие косинусы прямых ОА, ОВ и ОС по
отношению к осям OX, OY и OZ. Тогда
х = У = т? + т2ц, г — л,? -J- л2т), (1)
откуда, так как x = dxjdt и т. д., находим
х = + l2i\, у = /я15 + /я2т), г = -j- я2т). (2)
При помощи формул (1) и (2) скобки Лагранжа могут быть
выражены через !;, ц, ?, ц и /,, /2.........л2. Получение формальных
выражений скобок через эти величины мы отложим на будущее.
2) Выражения направляющих косинусов через 2, ш, I.
Мы имеем
/j = cos АХ, тх = cos AY, пх = cos AZ,
12 = cos BX, m2 = cos BY, n2 = cos BZ,
13 = cosCX, m3 = cos CY, л3 = cos CZ.
Мы уже нашли выражения для mv ..., Яд [см. формулы (3)
и (4) § 2.15]. Ниже они приведены под номерами (3) и (4). Выражения для
/3, /я3 и л2 легко находятся из треугольников CXN,
§ 5.06. Формулы для вычисления скобок Лагранжа
91
CYN, CZN и приводятся ниже под номером (5). Полная сводка этих формул
такова:
/j = cos 2 cos (о — sin 2 sin со cos /, m1= sin 2 cos to —f- cos 2 sin со
cos I, (3)
/tj = sin Ш sin/;
l2 — — cos 2 sin Ш — sin 2 cos to cos /, m2 =— sin 2sin(o +cos2 cos
cocos/, (4)
n2 = cos wsin/;
/3 = sin 2 sin/,
m3 = — cos 2 sin/, (6)
n3 = cos/,
3) Производные от направляющих косинусов.
Найдем производные от /р /2 п2 по 2, со, /. Например,
= — sin 2 cos со — cos Q sin cocos / = —mv
Аналогично мы получим остальные производные. Соберем эти формулы в виде
следующей таблицы:
Производные от направляющих косинусов по Q, со, /
h m, Я| U in. я,
S3 — mi /. 0 — m2 /2 0
<0 h m3 n2 -/1 — m, Я j
/ /3 sin со m3 sin со П3 sin со /3 COS со m3 COS <0 П3 COS со
4) Формулы для дудр и т. д.
Для последующей работы нам потребуются производные от /2, т2, «2 по р,
где р — в общем случае любая функция шести элементов, но, в частности,
может быть просто элементом.
Так как /2 является функцией лишь 2, со, /, то
0l2___0l2 dQ . dl2 дч> . dl2 di
dp dp "г" da> dp ' dl ‘ Wp '
Используя данные таблицы пункта (3), мы можем эту формулу переписать так:
dl2 dQ di
92
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Аналогично
dmj , дй dta . di
V = —milp+/”3 C0S(0d?' (7)
дп* д<л . di
-57 = -/t^l7+ЛзCOS0,^• (8)
5) Формула для ^ /t . Так как
ди
'l-
Imn
lxm2 — /2«i s= »з = cos /
“Ь mi "Ь n\ ~ 1 • V3+mim3+»1»3 = 0'
то из формул (6) — (8) имеем
. dl* , dm< i dn« , dQ da> /ri.
l'l?+mil? + n'-W = -C0Sl-df-Tt- W
6) Формула для S4l?r?f-
Imn
Продифференцируем соотношение (9) по q, где q в общем случае
является функцией элементов. Тогда
V4 / dlt dlj . . дг1г \ . d2S . , I dQ di дг<л
