Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
с, с2 с3 ' ' ’
Если центр масс системы находится в начале координат О, то
плоскость, проходящая через О, направляющие косинусы нормали которой
удовлетворяют равенствам (2), называется неизменной пло-
§ 4.08. Неизменная плоскость
75
скостью системы. Неизменная плоскость может быть определена, если сг с2,
с3 известны, для чего, согласно формулам (1), требуется, чтобы были
известны массы всех п тел, а также их координаты и составляющие скоростей
для некоторого момента t. Исходя из наших современных знаний о солнечной
системе, полученных при помощи методов, которые будут описаны в
последующих главах, постоянные cv с2, с3 могут быть получены с большой
точностью. Следовательно, положение неизменной плоскости может быть
определено относительно обычной основной плоскости. Можно сказать с почти
полной уверенностью, что любое уточнение значений cv с2, с3 в соотношении
(2) в будущем явится только результатом определения более точных значений
масс планет.
Если мы выберем новые оси, проходящие через центр масс, так, чтобы
нормаль к неизменной плоскости являлась осью Z, а оси Л’ и У были взяты в
этой плоскости, то мы получим равенства того же типа, что и равенства
(1). Но теперь с3 будет равно полному моменту количества движения
системы, а с1 = с2 = 0. Преимущество такого выбора осей состоит, конечно,
в том, что две постоянные интегрирования равны нулю, а это ведет к
упрощению аналитических выражений в общей математической теории.
Использование неизменной плоскости в качестве основной координатной
плоскости пропагандировалось Лапласом, но эта идея не получила большого
распространения в практических приложениях.
Постоянство момента количества движения относительно нормали к неизменной
плоскости предполагает определенные оговорки. Солнце и планеты являются
не материальными точками, а сферическими (или почти сферическими) телами,
каждое из которых вращается вокруг некоторой оси, и это вращение должно
изменять момент количества движения системы. Если бы эти тела являлись
твердыми сферами, плотность каждой из которых была бы функцией лишь
расстояния от центра сферы, то момент количества движения системы
оставался бы постоянным и неизменную плоскость можно было бы определить и
она была бы действительно неизменной. Эти условия не выполняются строго
для большинства планет и выполняются только приближенно для Солнца. Кроме
того, даже вращательный момент количества движения некоторых планет
(например, Земли) подвергается прогрессивным изменениям вследствие
прецессии и приливного трения. Например, вследствие прецессии ось Земли
изменяет свое положение относительно основной плоскости, и,
следовательно, составляющие ее момента количества движения относительно
осей координат непрерывно изменяются. Что же касается приливного трения,
то оно постепенно замедляет вращение Земли, хотя и с очень незначительной
скоростью.
Подсчитано, что полный момент количества движения солнечной системы на
98% обусловлен орбитальными движениями четырех
76
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
больших планет: Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Следовательно,
изменения, о которых мы только что упоминали, составляют почти неощутимую
часть от полного момента количества движения системы. Неизменная
плоскость, таким образом, практически является фиксированной плоскостью
по отношению к центру масс системы.
§ 4.09. Системы координат, используемые в теории Луны и при изучении
движений звезд
В качестве примера выбора системы координат в конкретном случае мы
выведем уравнения движения в задачах о движении Луны или звезд. Эти
уравнения составят основу для дальнейших исследований. В теории Луны мы
главным образом имеем дело только
с тремя телами: с Землей (масса mj), Луной (масса т2) и сравнительно
далеким Солнцем, с массой т3, значительно превосходящей т1 и т2. В задаче
о движении звезд мы имеем дело с аналогичной конфигурацией, состоящей из
двух тесных звезд и сравнительно удаленной третьей звездой, причем массы
всех трех тел имеют один и тот же порядок.
На рис. 11 изображены три тела Е, М и 5 с координатами (Sp t|i, С,), (?2.
Tfe. Cj) и (?3, 7|3, С3) относительно обычной инерциаль-ной системы
координат. Силовая функция U выражается формулой
Ц = G + gp- + -М.), (1)
где г == ЕМ, А = М5 и 4, = ES.
Пусть х, у, z — координаты тела М по отношению к системе
координат с началом в Е, а хх ух, гг — координаты тела 5 относительно
осей, начало которых находится в точке С — центре масс тел Е и М. Кроме
того, пусть X, Y, Z — координаты точки С относительно инерциальных осей.
Тогда
/п i + fflj
(2)
§ 4.09. Системы координат, используемые в теории Луны
77
Мы имеем
= ^2 Si (3)
«>
Отсюда при помощи формулы (3) получаем
да
Кроме того,
В дальнейшем достаточно будет ограничиться рассмотрением уравнений
движения в направлении, параллельном оси ?. Эти уравнения имеют вид
V _ 1 dU v _ 1 dU у _ 1 dU
1 /п | dSi ’ 2 mt ’ 3 /я* д5$ * ' '
Из этих уравнений мы выведем соответствующие уравнения для х
