Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
получить, если в разложении такой же функции от 5 в ряд, зависящий
от ij, подставить вместо т) величину $ (т. е. поменять местами
/ и Е) и заменить р на —р. Например, из формул
(25) и (26) § 3.09 получаем
cos qE = К cos qf -f- 2 Dnco$(q + ti)f-\-'2lEnco$(q — n)f, (1)
n=i л=1
sin qE = Ki sin qf + 2 Ai sin (? + «)/ + 2?л sin (Я~ n) /• (2)
/la] /la]
где дается формулой (27) § 3.09 и
?>„ = (- l)nA"n, En=(-l)nBl
§ 8.10. Разложения некоторых функций от г и М в ряды
57
В частности, при q = 1, мы из формулы (30) § 3.09 получаем cos Е = р + (1
- р2) 2 (- 1Г Y'' cos я/, (3)
Л*1
а из формулы (31) § 3.09 находим
sin ? = (1 — p*)2(—ly'-y^slnn/. (4)
Далее, чтобы получить разложение (г/а)~р по косинусам кратных /, мы
поступим следующим образом. Из формулы (11) § 3.09 имеем
(тГ = 0+?й' <‘+”
+й'(|+гп (5)
Но, согласно формуле (10) § 3.05, (г/а)р выражается через rt следующим
образом:
(?)' е (1 + Р)~Р (! + W (1 - У. или. согласно формуле (20) § 3.09,
аУ = Ао+2%Ап cos«?,
где а А'п соответственно даются формулами (21) п (22) § 3.09. Легко
видеть, что выражение, стоящее внутри квадратных скобок формулы (5),
можно представить в виде функции /, если написать ? вместо ч> т* е- /
вместо Е, и —p вместо (3. В результате будем иметь
K + tZKcosnf.
Ла 1
где
s;=4=(i-*r/J7’0(/>' о).
В'п = (- 1)" А'п = (1 -еУ№Тп(р, 0)С'(3".
Поэтому, так как (1 — Р2)/( 1 -J- f*2) = V"1 — т0 из формулы (5) получим
°) + 227’«(р. 0)C^cos«/j. (6)
Если ps=—2, то последнее равенство примет вид
г2 = в2 /П^ё2 Г1 + 2 2 (— 1)" О + п /П^ё2) Ря cos я/1 (7)
L л=1 J*
58
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
(8)
2) Выразим среднюю аномалию М через /. Мы имеем а _ 1 + е cos / dr er2
sin /
7“ l—e2 ' df ~ a(1 — e1) *
Ho_______________________________________________________________________
___
г sin/= a —e2sin?'.
Следовательно.
dr grsln?
~df ~ V\^T2 '
С другой стороны,
г = а (1—ecosE) и Е — в sin Е = М.
Поэтому
Ш = ае^ЕШ = ^Е' &
Из равенств (8) и (9) находим
dM г2
df а2 У 1—е2
Используя равенство (7) и интегрируя последнее уравнение при условии, что
М обращается в нуль вместе с /, мы получим
М = / + 22(-1)л(4-+/Г=Г«5)Рл8!пя/. (Ю)
ля]
Угол / — М называется уравнением центра. Формула (10) дает его выражение
через истинную аномалию.
До членов порядка е4 найдено
М = / — 2«81п/ + (-§-*2 + у^)зт 2/ — -g- е3 sin 3/ + ^ е* sin 4/.
Обращая этот ряд, можно выразить / через М и е определить по формуле
/ = Ж-)-| 2е —-j-e3jsinM +
+(т *2 — Ш **)sin 2М + И *3 sin Ш+W е*sin 4М' (1
§ 3.11. Разложения в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии
Пусть F (М) — периодическая функция М, которую предполагается разложить в
сходящийся ряд вида
СО СО
/7(Ж) = ^ Д,+ 2 Ап cos пМ -)- (1)
я= 1 г= 1
§ 3.11. Разложения в тригонометрические ряды
59
Умножим обе части равенства (1) на cosn/И и проинтегрируем в пределах от
0 до л. Тогда при п Ф 0 получим
Лл=и>(Л!) cos пМ dM. (2)
’ о
Умножим равенство (1) на sinn/И и проинтегрируем в тех же пределах. Мы
найдем
1C
Вп = J F (М) sin пМ dM. (3)
а
Кроме того, проинтегрировав равенство (1) в пределах от 0 до к, получим
1C
F(M)dM. (4)
о
Если F(M)— четная функция М, то коэффициенты Вг в формуле (1) равны нулю
(г = 1, 2, ...).
Если F(M)— нечетная функция М, то коэффициенты Аг в формуле (1) будут
равны нулю (r = 0, 1, 2, ...).
Выведем теперь требуемые разложения.
1) Разложение cos kE.
Е связана с М посредством уравнения Кеплера
Е — esin?=M. (5)
Так как cos kE является четной функцией Е, а следовательно, и М, то мы
имеем
00
cos kE = -j Akt о + 2 л cos лМ.
л= 1
На основании формулы (2) пишем
АЛ' п~ ~ J“ cos kE cos пМ dM =
о
It
= ^ [cos kE sin nM]l -|- ~ J sin kE sin nM dE =
о
It It
~ л* / 008 ~ kE)dE — J cos (nM -(- kE) dE,
о о
60
Глава 3. Разложения функций в э.ыиптическом движении
или, согласно формуле (5), k г
Akiп — ~ I cos [(л — k)E— nes\nE\dE —
о
— ~ J cos \(n-\-k)E — пе sin E\dE.
о
Но на основании формулы (12) § 3.03 каждый из этих интегралов выражается
через функции Бесселя:
Ak, п — l-Л*—* (яв) Л/ + * (лв)Ь (6)
Далее,
Ак'0 = ^- J cos ft?(l —в cos E)dE =
n
= |- f cos kEdE — y f cos (Л-f 1 )EdE-Z- J cos(ft-l )EdE=
о о 0
== 0. если k > 0,
= — e, если k — \.
Поэтому, если Л> 1, то
СО
cos kE = k V ^ [Ул_* (пе) — Ул+* (ne)\ cos nM. (7)
/7=1
Если k = 1, to
cosE=— у * + [У„_, (ne) — J„+1 (ne)\ cos nM, (8)
/1=1
или, принимая во внимание формулу (10) § 3.03,
ОО
соь? = — ^е+^-^-^и„(пе)\соьпМ. (9)
л=1
2) Разложение sin kE.
Эта функция является нечетной, и мы имеем
on
sln??= 2 (10)
Л«1
§ 3.11. Разложения в тригонометрические ряды
61
Поэтому на основании формулы (3), следуя процедуре п. (1), находим
Bkt „ = ~ J sin kE sin пМ dM =
о
~ 7ПГ / lcos п^ cos ^ ~
' о
=41У*+»(пе)+у»-*(пе)Ь <п>
В частности, когда Л=1. будем иметь
СО
sin Е = 2 1Уя+1 (ле)+ Ул_! (яе)1 sin пМ, (12)
/1=1
или, согласно формуле (9) § 3.03,
СО
sin Е = у -i-Ул (ле) sin яЛ!. (13)
/1=1
3) Разложение г/а.
Так как r = a( 1 —ecosE). то при помощи формулы (9) получаем
