Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
00 00
Y(1 +г-2) 2 J*{х) *я = 2 (" +!)•/„., i (*>*"• <8>
Пт—СО —00
Приравнивая коэффициенты при гл в равенстве (8), получаем Y U„ (*) + Л +2
(х)) = (« + 1)Л+1 (х),
или, заменяя я на л—1,
nJn(x) = Y М,_1(*)+Л+1(*>Ь (9)
3) Пусть ./'(Jt) означает (d/dx)J(x). Из формул (1) и (4) имеем
^ _ z-0 </= ?/я (*) *я
§ 3.03. Функции Бесселя
47
или
0U СО
-2- (z—•?_1) Sy« (jc) =2 у«(jc) **•
— 00 —00
Приравнивая здесь коэффициенты при zn, находим
/.(*) = Y['/"-i(*)-y"+i(*)l- <10)
4) Покажем теперь, что Jn(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
второго порядка — уравнению Бесселя
?S+T-ff+t'-^)31-0- СП)
Из формулы (10) имеем
Jп (х) == J {[*/«-2 (х) ('*')] (Л) (?*) ^п +2 С*)]} =
=—Л С*)+4" №n-i(x)+Jn С*)] + \ [Jn С*0+Л+2 0*)Ь
и далее, при помощи соотношений (9) и (10) находим
Jn (х) + Jn (х) = ± [(л - 1) У„_ , (х) + (п+ 1) Jn+, (*)] =
= -5 Jn(X)~-jj'n(x).
Тем самым проверено, что Jn(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(И).
5) Функция Бесселя порядка п может быть представлена в интегральной форме
следующим образом.
Сделаем в равенствах (1) и (4) подстановку г — егв, где Р = — 1. Тогда
ОО
U=elx^nt = ^Jn(x)e!ni.
— 00
Умножим обе части на e~lnt и проинтегрируем в пределах от О до 2л. Тогда,
так как
2*
J elM db = 2л или О О
48
Глава 3 Разложения функций в эллиптическом движении
(что соответствует случаям k = 0 или k — положительное или отрицательное
целое число), то мы получим
2г.
2теУ„ (х) = J е~> |л,--г sln 9>d9.
о
Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов, в первом из
которых пределы интегрирования равны 0 и л, а во втором — пи 2те. Во
втором интеграле заменим 6 на 2 те — 9. Тогда получим
1C л
2теУ„ (лс) = f g-i (лв-* sin в) dbе~21ак f е1 о о
откуда
Г.
теУ,, (х) = J cos (л9 — Jtsin0)</9. (12)
п
§ 3.04. Гипергеометрический ряд
Гипергеометрический ряд, обозначаемый через F(a, Ь, с; х), определяется
формулой
F(a. b, с\ *)—1+-ут7*++----------------------------- 0)
Этот ряд сходится, если | х | < 1. В приложениях х имеет порядок е2, так
что условие сходимости удовлетворяется.
Функция F может принимать различные формы, из которых мы отметим для
будущего использования следующую:
F(a, b, с\ *) = (1 — х)~а F[a, c — b, с; — yirj)" (2) Легко проверить,
что F удовлетворяет дифференциальному уравнению
(jc2-*>-0+[<a+ft+1)*-cl!j+afty=o- <3)
§ 3.05. Метод разложения некоторых функций г и / в периодические ряды
Пусть
% = ri = eiE. (1)
где Р = —1 и е—основание неперовых логарифмов. Тогда
? = е1Ь* = cos ft/ + /sln kf, S“* = cos kf— IsinA/. (2) Аналогичные
формулы справедливы и для и тр*.
§ 8.05 Метод разложения некоторых функции г и f
19
Представим эксцентриситет е в виде
B=ssin<p (3)
и обозначим
p=»tgi(p. (4)
Тогда
и
«=ТГГ <5>
р=,1(|-УГГ7). (6)
Последняя формула показывает, что р имеет порядок е/2. Рассмотрим
уравнение
<7)
Но
2J e'/+l 5+1
Подобным же образом имеем
Поэтому формула (7) принимает вид
«-1 _ 1 + Э 1-1 «+1 ~Т=Т' 1+1 ’
откуда
1 —Р _ 1(1—Pl_l) ,04
и
__€0 + РГ1) m
71—1+м • (9)
С другой стороны.
г = в(1 —ecos?) = e[l
Поэтому
г. (l-Pl)O-Pl-1) а 1 + р»
Через ; величина г выражается следующей формулой:
г __ 1—в* (1 — Эа)* 1
в 1 + ecos/ “ 1 + р* О + РЭО + Р?*1) •
4 V. Смарт
(10)
(И)
so
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
§ 3.06. Разложение рт в ряд по степеням е
Напишем формулу (5) предыдущего параграфа в виде
е , е
Р =
или
р=|+|-рг.
Р = * +<*?(?).
где а = е/2 и <р(Р) = р2, так что <р (а:) = х2. В ряде Лагранжа для
?(P)spm мы должны отождествить х с е/2.
На основании теоремы Лагранжа § 3.02 мы имеем
V" =*т + Ё -нг [ *2л Тх <*т>]=
1
= л* + т (л2»+«-1) =
1
— хт | - у * (2в+я»-1)!
— х -t-m ? п( (л + т), х ,
или, выражая через е,
г-(4Г['+*2*йШ*Г
0)
Выпишем несколько первых членов этого разложения
r=({)"[i+f^+2^|2^+=j=^i±2^+...]. (2)
§ 3.07. Выражение / через ?
Мы будем исходить из формулы (8) § 3.05, а именно:
Е— чР-И"1) /П
Логарифмируя эту формулу и имея в виду, что % = е1’, у] — е1е. получаем
// = /?+In (1 —рт}-») —1п(1 — рт}) =
= 1Е+р(71 — 71~1) + ^-(7? — 71~3)+-
Следовательно,
/ = ?+2psln?+p2sm2?+2^sln3?+ ...
§ 3.08. Разложение гр cos pf и гр sin pf
SI
или
00
ря
/ = ? + 2^-^-slnn?. (2)
Примечание. Выражение Е через / получается немедленно из равенства (2)
при помощи формулы (9) § 3.05:
во + рг1) _ 6(1-м-1)
V-—г+рс Г-р;г <3>
где р,=— р. Так как формулы (1) и (3) имеют один и тот же аналитический
вид, то мы выразим Е через /, если поменяем местами / и Е в равенстве (2)
и напишем (—р) вместо р. Следовательно,
00
? = / + 2 2<-1>Л-Т8,пя/- (4)
i
§ 3.08. Разложение гр cos pf и rPsinpf
Из формул (8) и (10) § 3.05 мы имеем
-Е_ Д*|П —
5 1+р*
Поэтому
гф = а> (1 + р*)-р -rf О — h",)2p. (1)
где р — положительное или отрицательное целое число. Пусть
Ck *(*-1)(*-2Ь..(*-./-И) (2)
где /— положительное целое число, a k — положительное или отрицательное
целое число.
Если k и j — целые положительные числа, то С* — коэффициент при х1 в
