Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
и
•до -do, . •
Взяв в этом равенстве действительную часть, мы найдем
i^+y^e=ii^r+y»T5r+(Jfiyi-iiyi)^* (3)
Но выражение (jc,yt — jc,y,) равно h cos/, т. е. равно проекции удвоенной
секториальной скорости на основную плоскость. Следовательно, из формул
(1) и (3) получаем
. • дх1 . • ду, , • дг, , . . dQ
At>=x'-d$-+^-ft+zi-dr+hC0StTf' <4>-
Осуществим теперь поворот осей у, и на угол I. Пусть X, Y, Z — координаты
планеты относительно новых осей ON, ОТ, ОС. Тогда je, = X, и по аналогии
с формулой (3) пишем
7f+i%+(Yi-fZ)W- (5>
Но Z = 0, поэтому из формул (4) и (5) получаем
. v 6Х . г. дУ . . . дй ...
Ар~ X~dj + Y~dp+Acos/a7* (3)
Повернем теперь оси ON, ОТ на угол ш так, чтобы они
совпали
с О А и ОВ, где А — перигелий. Пусть ?, ц — координаты
планеты
относительно осей О А и ОВ. По аналогии с формулой (3) имеем
л дХ . {. дУ : di . • dv , „• ; ч дш
x-dj-+y-dp = t'W+vW+(!i1i~!i1,)d?'
Но ?») — = Поэтому
. ь д$ ? * дц , . ды а , , dQ
i4/'-“?d^+’Id^ + A d^ + Acos/d^' (7>
Далее,
\ = а (cos Е — е), т\ = а (1 — е2)1Л sin Е s b sin Е
и
5 = — a?sin?, n} = d?cos?.
10В
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Если через F обозначить первые два члена правой части формулы (7), то
легко видеть, что
-?-= а2 —(1 —e2cos2?) + asIn?(l—е cosE)(e — А-а—
Е др \ др др!
Но из уравнения Кеплера имеем
Е (1 — е cos Е) = п = p'Aa-1'».
Поэтому
p-4>F = а'Ь (I + е cos Е) а~'1‘в s\n E^-\-a'!*s\nE Эту формулу можно
записать в виде
р-’/./> = _ | a1/* (1 - « cos Е) 1 a-V. (Е - в sin Е) %L+
+ ^ лгЛ sin Е (3 + е cosЕ)Щ--\-
+ j a~'h (3f +? е sin Е) ^ + ~ a’/» sin Е —
или
F = -^-§p 1а‘1 ~ е sin Е)1 +?
Далее,
так что
+ ??|«*<3^«.п10,-(Я)
G == а’ -* (Е — е sin Е) = na'h^t -)- j = р'<* ^ -j- JLj,
f = №
Из формул (7) — (9) получаем
i4/'=_i"^(^') + ^+A'^' + Acos/-§'- <10)
Aq дается аналогичной формулой. Теперь при помощи равенства (2) мы найдем
общую формулу для скобок Лагранжа, именно:
д(±_ М
In П\ ^я* 2а / . д(а>, h) . d(Q, Acosi) ....
\Р'Ч\- д{Р'Ч) -d(p.q)1 JbTq)
что согласуется с формулой (4) § 5.13.
Глава б
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
§ 6.01. Введение
Мы будем пользоваться уравнениями для элементов а, е, I, 2. ш и е,
которые получены в § 5.10. Эти уравнения описывают движение планеты Я с
массой т, возмущаемой планетой Я1 с массой /и,. В частности, мы займемся
уравнениями
о = -^~7Г. W
па Ot v
2 dR , n OR , ^ OR па da
e = -^r^4-P-5i- + Q-5r. (2)
2 = A^-. (3)
Здесь n определяется из формулы
n2a3 = p = O(m0 + m), (4)
где m0 — масса Солнца, R — возмущающая функция, которая выражается
формулой
(5)
причем х, у, z и j:,, у1( гу— гелиоцентрические координаты планет Я и Я,
соответственно, А, Я и Q — функции а, е, (, которые не нуждаются в
пояснениях. Наконец,
Д2 = (* — л;,)2 + (у — у,)2 + (2 — zxf. (6)
Решение уравнений, определяющих е, I и о>, имеет те же общие особенности,
что и решение уравнения для 2. Поэтому в настоящей главе можно
ограничиться подробным рассмотрением уравнения (3).
Рассмотрим возмущающее действие планеты Я на планету Я1.
Если ау, еу е, — элементы орбиты планеты Pv то уравнение,
аналогичное уравнению (1), будет
2 dRy
(7)
где
+ + (8)
Можно написать также уравнения, аналогичные уравнениям (2) и (3).
110
1'лава 6. О решении уривнений Лагранжа
Очевидно, что это рассуждение можно распространить на любое число планет.
Практический метод решения уравнений Лагранжа основан на том факте, что
е, ех, I и /, малы, так что возмущающие функции R и /?] можно разложить в
ряды по степеням е, ev у, уг где
T = tg/, y, = tglr (9)
Мы можем добавить, что в теории Луны отношение геоцентрических расстояний
Луны и Солнца мало, и при разложении возмущающей функции (главным
возмущающим телом является Солнце) эта особенность также принимается во
внимание.
§ 6.02. Общий вид разложения возмущающей функции
В следующей главе мы будем заниматься во всех деталях разложением
возмущающей функции, но пока для читателя важно, не входя в излишние
подробности, ознакомиться с предварительными идеями о том, каким образом
R принимает форму, удобную для практических целей, и каковы общие
свойства этой формы. В этом параграфе мы будем отбрасывать члены,
содержащие третьи и более высокие степени эксцентриситетов и
наклонностей.
В предыдущей главе мы записывали формулы эллиптического движения тела Р в
виде
* = /=?,(/. а,, р,). y = F2(t, а,, р,), z = F3(t, а,. р,),
где а, и р, (/=1, 2, 3) представляют собой шесть элементов эллиптической
орбиты, a Fv F2, F3 — известные функции времени (или средней аномалии /И)
и шести элементов. Уравнения движения планет теперь будут- получены
методом вариации произвольных постоянных (см. § 5.01). Для этого следует
вышеприведенные функции де, у и г подставить в R и принять а и р в
качестве новых переменных.
Общая формула для Fv например, дается, согласно равенству (3) § 5.01, в
виде
х = ali cos E-\-bl2slnE — аек' (0
Если мы выразим cos Е и sinf через среднюю аномалию М и эксцентриситет е,
то получим, с точностью до членов порядка е2.
