Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
характерный размер можно взять диаметр шара, за характерную скорость -
скорость потока на бесконечности и за характерное давление - давление на
бесконечности. Аналогично обстоит дело и в других случаях течений.
Введём следующие обозначения для характерных величин-. L0 - линейный
размер, V0-скорость, р0 - давление, Т0 - время, g0 - сила, приходящаяся
на единицу массы. Эти характерные величины можно рассматривать как своего
рода масштабы соответственных величин рассматриваемого течения. Все
переменные размерные величины будут представляться в виде произведений
характерных масштабов на безразмерные величины. Таким образом, мы будем
иметь:
х = L0xl,
У = Lo yv z = L0zx;
t:
T0tv
и = V0uv v = V0vv
PoPv
'x SoFxl' FV = §0Fyi' Fz = S()Fzr
I
(3.1)
w = V0wx,
Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения движения вязкой и
несжимаемой жидкости и разделяя первые три полученные
уравнения на множитель
стоящий при квадратичных членах
инерции, получим следующие уравнения: Ц дих
T0V0 dtx
du, I ди, , ди,
' ил IT1- + ^1 Щ -7Г1-
1 дх1 1 1 ду1 1 1 дгх
goL0 f-
' A I ;
¦п
Ро dPi PVS dxi
VV-o
Ln
TqVq dtx
L0 dwx
dvi i dv, i
W dtx
dw,
-д-1 1 dx1
dvi , dv.
goL о
Vi
Po "Pi
P Vl *У1
VaL,
A"i,
•Дг"!,
I dw , I uw.
dy i ^0^0 c1
z
dwx_____
dz,
Po
pv?
dPi dz,
VnLi
¦hwx,
dui . dv1 , dwx n
~dxx dyx "T" dzx
(3.2)
ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
107
Все слагаемые в уравнениях (3.2) будут безразмерными величинами, поэтому
будут безразмерными и входящие в эти уравнения множители, составленные из
характерных размерных величин. Эти безразмерные множители называются
характеристическими числами течений вязкой несжимаемой жидкости. Каждое
из этих чисел принято называть по имени того автора, который впервые ввёл
его в рассмотрение, и обозначать его начальной буквой фамилии этого
автора. Число, содержащее давление, есть число Эйлера (1745 г.)
Ра
Ро^о
Е. (3.3)
Число, содержащее ускорение силы тяжести, называется числом Фруда (1870
г.)
Ко
Число, содержащее характерное время, именуется числом Струхаля (1878 г.)
= S- (3.5)
7'оКо
Наконец, число, содержащее кинематический коэффициент вязкости,
называется числом Рейнольдса (1883 г.)
^ = R. (3.6)
Решения дифференциальных уравнений (3.2) для безразмерных скоростей uv v1
и w1 и давления р1 будут зависеть от четырёх характеристических чисел Е,
F, S и R. Следовательно, некоторые качественные особенности течений
вязкой несжимаемой жидкости будут предопределяться значениями этих
характеристических чисел.
Особенное значение приобретают эти характеристические числа при
рассмотрении вопроса о подобии течений вязкой несжимаемой жидкости.
Многие вопросы гидромеханики, необходимые для техники, решаются при
помощи экспериментов с уменьшенными моделями. При проведении таких
экспериментов возникает вопрос о выборе размеров моделей, значений
характерных скоростей и прочих характерных величин. Возникает также
вопрос о возможности перенесения результатов экспериментов на натуру. На
все эти вопросы даёт ответ теория подобия течений жидкости.
Условия механического подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости
включают в себя условия: а) геометрического подобия, б) кинематического
подобия и в) динамического подобия. Для выполнения условий
геометрического подобия двух сравниваемых течений необходимо не только
подобие самих границ, но и подобие их взаимного расположения. При
выполнении этого условия можно
108
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
говорить о соответственных точках рассматриваемых двух течений и
соответственных отрезках, причём отношение двух любых соответственных
отрезков будет равно постоянному числу, т. е.
Мп (У)п (г)п Ыц _ и
"ЙГ~"(У)Г~ (*)i " (A")i ~ L' { '
где ki-коэффициент геометрического подобия двух рассматриваемых течений.
При выполнении условия геометрического подобия двух течений вязкой
несжимаемой жидкости можно говорить о кинематическом подобии этих
течений. Если выбран коэффициент пересчёта времени, т. е.
*п Ыц
(Toh
К (3.8)
то кинематическое подобие будет иметь место тогда, когда отношение
проекций векторов скоростей в любых соответственных точках будет
постоянным, т. е.
(и)" _ (")" _ ((r))" _ (V0)n _ fc
(")l - ((r))! - (W\ (K0)i ~ V' К''
где ky-коэффициент кинематического подобия. Наконец, о
динамическом подобии двух течений вязкой несжимаемой жидкости можно
говорить лишь тогда, когда отношения: а) проекций векторов массовых сил,
б) величин давления и в) компонент вязких напряжений в любых
соответственных точках будут постоянными, т. е.
(*7а,')ц ____________ (Fy)ll (*г)ц Ын
Ы)1 (/¦'")! Ыг Ыг
(р)п Ын
(3.10)
= k", (3.11)
(P)i (Po)i v
(Pxx + p)ll (Pyij + '/0lI (Pzz + p)u (Pxx + p)i ~ (Pyy + P)l ~
(Pzz+P)l ~
(Pxy)ll _______ (Pyz)u________ (Pzx)H
(Pxy)l (Pyz)l (Pzx)l
kx. (3.12)
При выполнении всех условий (3.7), (3.8), (3,9), (3.10), (3.11) и (3.12)
два сравниваемых течения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным
