Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
4т +2 к* -"""о =
du . dv | dw дх ' ду ' dz
= 0.
(1.1)
Посмотрим, что произойдёт с уравнениями (1.1), если предположить, что
проекции вектора-вихря в некоторой конечной области обращаются в нуль, т.
е.
: = 0,
- 0, си, = 0.
(1.2)
При таком предположении движение жидкости в этой области будет
потенциальным, т. е. проекции вектора скорости частиц жидкости будут
представляться через потенциал скоростей в виде
и =
d<?
w =
d<р
(1.3)
d?
dx ' V dy ' ш dz
Подставляя выражения (1.3) в четвёртое уравнение (1.1), получим для
потенциала скоростей дифференциальное уравнение Лапласа
Дер = 0. (1.4)
ТЕОРЕМА О РАССЕЯНИИ ЭНЕРГИИ
101
В силу соотношений (1.3) и (1.4) будем иметь:
Лм = Л (ж) " Ш(Лср) = °'
и аналогично для Дг> и \w. Таким образом, слагаемые, обусловленные
наличием в жидкости вязкости, из уравнений (1.1) будут совершенно
выпадать, а на основании оставшихся слагаемых получим интеграл Лагранжа -
Коши, т. е.
-w+u-f-T!vl=m- <*.5)
Итак, принимая предположение (1.2) об отсутствии вихрей в какой-либо
области, мы получаем соотношения (1.3), (1.4) и (1.5), которые имеют
место как раз для движения идеальной несжимаемой жидкости в этой области
при отсутствии вихрей, т. е. распределение скоростей и давлений в той
области, где движение вязкой и несжимаемой жидкости предполагается
безвихревым, не будет зависеть от коэффициента вязкости. Если бы при этих
условиях можно было удовлетворить граничному условию прилипания к твёрдым
стенкам, то вопрос о возможности безвихревого движения вязкой несжимаемой
жидкости решался бы положительно. Но легко убедиться в том, что решения,
отвечающие потенциальному движению идеальной жидкости, не удовлетворяют в
то же время условию прилипания частиц к границам, за исключением особых
случаев. К таким особым случаям относится, например, чисто циркуляционное
течение идеальной жидкости вокруг круглого цилиндра, в котором все линии
тока будут окружностями, охватывающими заданный контур круга. В идеальной
жидкости все точки контура неподвижны, и имеет место скольжение частиц
жидкости вдоль контура с одной и той же скоростью. Для случая вязкой
несжимаемой жидкости надо предположить, что цилиндр вращается.
Если исключить из рассмотрения указанные выше особые случаи, то мы должны
придти к тому выводу, что предположение о потенциальности движения вязкой
несжимаемой жидкости несовместимо с самим явлением вязкости. Иначе
говоря, всякое движение вязкой несжимаемой жидкости будет движением
вихревым.
§ 2. Теорема о рассеянии энергии
В § 5 главы 11 было установлено дифференциальное уравнение изменения
внутренней энергии фиксированной частицы с постоянной массой, имеющее вид
102
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
где s представляет собой внутреннюю энергию единицы массы, а Т-
температуру. Группа первых трёх слагаемых в правой части представляет
собой ту часть работы напряжений, которая идёт на приращение внутренней
энергии единицы массы. Эта часть работы напряжений, приходящаяся на
единицу объёма и единицу времени, для случая несжимаемой жидкости
называется энергией рассеяния. Чтобы оправдать это название, подсчитаем
полную работу всех сил, действующих на массу жидкости в конечном объёме,
и выясним, какая часть этой работы идёт на изменение кинетической энергии
рассматриваемой массы, а какая часть переходит в тепловую энергию, т. е.
рассеивается.
.Элементарная работа массовых сил, действующих на массу
в объёме т, на элементарном перемещении V dt будет представляться
в виде
А1 dt - - Ш pF-Vdzdt. (2.2)
Элементарная работа напряжений, распределённых по всей поверхности S,
ограничивающей объём т, будет равна
A2dt = f f Рп ' VdSdt. (2.3)
s
Так как вектор напряжения на площадке с нормалью п представляется в виде
/"".=/"* *+/"#"+/"*".
то после подстановки в (2.3) и применения формулы Гаусса-Остроградского
преобразования поверхностного интеграла в объёмный получим:
j' Г^ +
4- </>_- V,\d-dt (2.4)
Выражение в квадратной скобке представляет собой полную элементарную
работу напряжений, распределённых по поверхности элементарного объёма
(см. (4.8) гл. II).
Векторное дифференциальное уравнение движения фиксированной частицы
представляется в виде
ТЕОРЕМА О РАССЕЯНИИ ЭНЕРГИИ
103
Умножая скалярно левую и правую части (2.5) на V dt dz и интегрируя по
всему объёму т, получим:
J J j* рV-dVdz = dt j* J J pf • Vdz +
+лШч^+1г+тЬ <2-"
X
Так как рассматривается фиксированная постоянная масса, т. е.
р dx = const
Я/
V-dV = d
(?).
то знак дифференциала в левой части можно вынести за знаки интегралов.
Заменяя слагаемые в правой части (2.6) через (2.2) и (2.4), получим:
d{\ | Jpir^) =
X
~A1dt-\-Aidt dt f j j (рл, • -\-py- dz. (2.7)
X
Левая часть полученного равенства (2.7) представляет собой элементарное
приращение кинетической энергии конечной массы жидкости в объёме т. В
теоретической механике доказывается, что элементарное приращение
кинетической энергии произвольной изменяемой механической системы равно
