Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
большим, мы должны второй множитель считать равным нулю. Таким образом,
граничное условие на твёрдой стенке принимает следующую форму:
VT=V. (7.6)
Равенство (7.6) означает, что частицы жидкости, примыкающие к стенкам,
имеют те же скорости, какие имеют соответственные точки самой стенки.
Условие (7.6) по этой_причине называется условием прилипания частиц
вязкой жидкости к твёрдой стенке. Это граничное условие можно было и не
выводить из условия (7.4), а принять его как результат наблюдений. При
решении конкретных задач в большинстве случаев используется именно
условие прилипания (7.6).
Обратимся к выяснению граничных условий на поверхности раздела двух
неперемешивающихся жидкостей.
Условие, что частицы первой жидкости не перемешиваются с частицами второй
жидкости, можно выразить равенством проекций
96 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [гл. II
на нормаль к поверхности раздела векторов скоростей этих частиц,
(VJi=(Vn)a- (7-7)
Условие (7.7) не исключает возможности разрыва касательных составляющих
скоростей частиц первой и второй жидкости на поверхности раздела. Для
выяснения динамического условия возьмём на поверхности раздела
элементарную площадку (рис. 22). На одной . стороне этой площадки будет
развиваться на-
(РЛ п пряжение (р")ь обусловленное деформацией
примыкающих частиц первой жидкости, а на второй стороне будет развиваться
напряжение (рп)ц. Эти два вектора напряжений в общем случае по величине
не будут равны между собой не только по причине возможного наличия сил
капиллярности, но и по причине образования внешней силы трения. Силу
внешнего трения на поверхности раздела можно также полагать
пропорциональной разности касательных скоростей частиц первой и второй
жид-Рис. 22. костей. Если силы капиллярности будут пре-
небрежимо малыми, то в силу требования непрерывности нормальных
составляющих напряжений при переходе через поверхность раздела будем
иметь:
(Pnn)l -(Рпп) н • (7-8)
Касательные составляющие напряжений могут претерпевать разрыв, величина
которого должна быть равна силе внешнего трения, т. е.
(Pndl (Pndll = ^1, II [(Ут)1-(Ут)п]> (7-9)
где Хц ц - коэффициент внешнего трения частиц первой и второй жидкости.
Таким образом, в общем случае на поверхности раздела должны выполняться
кинематическое условие (7.7) и два динамических условия (7.8) и (7.9).
Рассмотрим часто встречающийся случай, в котором вторая жидкость имеет
сравнительно малую плотность и весьма малые скорости движения, как это
имеет место, например, при движении воды в каналах и реках. Поверхность
раздела, отделяющая воду от атмосферного воздуха, в этом случае
называется свободной поверхностью. Так как в этом случае будем иметь,
(.Рпп)п = ~Ро> (Рп-.)и = 0, h. п = О,
то динамические условия (7.8) и (7. 9) должны принять следующую форму:
Рпп - -Ро>
' Л0)
РпТ 9,
§ 8] ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ГИДРОДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 97
где р0-.давление со стороны покоящейся жидкости. Таким образом, на
свободной поверхности раздела нормальная составляющая напряжения должна
быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна
обращаться в нуль.
Кинематическое условие (7.7) заменяется в этом случае другим условием,
выражающим собой то предположение, что частицы жидкости, находящиеся на
свободной поверхности, не покидают этой поверхности во всё время
движения. Это новое условие можно выразить равенством нормальной
составляющей вектора скорости частиц жидкости скорости перемещения по
нормали точек самой свободной поверхности, т. е.
V"=:Vnn, (7.11)
где Vnn - скорость перемещения по нормали точек самой поверхности.
Мы рассмотрели лишь те граничные условия, которые должны выполняться для
скоростей и напряжений. Этих условий будет достаточно для изучения ряда
случаев движения несжимаемой жидкости и некоторых случаев движения вязкой
сжимаемой жидкости, в которых можно пренебрегать изменением температуры.
При учёте изменения температуры необходимо вводить в рассмотрение и
граничные условия по отношению к температуре, которые могут быть весьма
разнообразными, и поэтому об этих условиях целесообразно вести речь не в
общем виде, а в каждом конкретном случае отдельно.
§ 8. Замечания об общей задаче гидродинамики вязкой жидкости
С математической точки зрения общая задача гидродинамики
вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению следующей
совмест-
ной системы четырёх дифференциальных уравнений с частными производными
второго порядка:
да , да . ди . да
-37+М-3 Г ^ 3 Г'К'з-
dt 1 дх 1 dy 1 dz
dv | dv . dv j dv
L"3 Г ^ з г 'И' 3-
dx ' dу 1 dz
dt
F"
-i-^ + vAa,
P dx 1
.-LJe+.д",
p dy 1
dw i dw j dw | dw "
du , dv , dw ' dy ' '
1
dz 1
dx
dz
0.
(8.1)
При этом искомое давление должно быть непрерывным, конечным и
положительным, а искомые скорости должны быть также, вообще говоря,
непрерывны и ограничены. На неподвижных стенках искомые скорости должны
обращаться в нуль:
и - 0, т/ = 0, w - 0, (8-2)
