Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициентом вязкости будут по самому определению механически подобными.
Подставляя в равенства (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12)
Значения соответственных величин из (3.1) для первого и второго
§ 5] ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
109
течения вязкой и несжимаемой жидкости, получим:
(¦*1)11 (yi)ii (zi)u
(xi)i (yi)i (zl)l
Oi)n ,
(^)i (/•'</,), ~ (^,), - l'
(Pi)n __ .
(POi
("1)11 _ (pi)ii _ (^i)n
("l)l ~ (Wi)j ~ (w^
(F&i)u (Py^n (Pzi)u
(3.13)
Таким образом, для двух подобных течений вязкой несжимаемой жидкости все
безразмерные величины длин, времени, скоростей, массовых сил и давлений
будут совпадать. Как уже было указано, решения дифференциальных уравнений
(3.2) для каждого течения будут зависеть от своих четырёх
характеристических чисел. Следовательно, чтобы решения безразмерных
уравнений (3.2), отвечающие двум подобным течениям вязкой несжимаемой
жидкости, совпадали, необходимо, чтобы характеристические числа двух
рассматриваемых течений были соответственно равны между собой:
Таким образом, характеристические числа играют роль необходимых критериев
подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости.
Если рассматривать установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости,
то первый критерий подобия - равенство чисел Стру-халя - будет отпадать.
Если в качестве характерного давления выбрать так называемый скоростной
напор, т. е. положить
то числа Эйлера для всех течений станут равными единице, и поэтому
критерий Эйлера выпадет из числа необходимых критериев подобия.
Основными критериями подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости без
учёта изменения температуры служат, таким образом, два критерия: критерий
Фруда и критерий Рейнольдса.
Sii = Si. ] Еп= Еь I
Fn= Fi, Rii=Ri- .
(3.14)
(3.15)
110
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. Ill
Покажем, что эти два критерия подобия не могут быть совместимыми в том
случае, когда в двух сравниваемых течениях фигурирует одна и та же вязкая
жидкость. В самом деле, полагая кинематическую вязкость одинаковой для
двух рассматриваемых течений, из равенства чисел Рейнольдса мы будем
иметь:
Таким образом, согласно критерию (3.16) Рейнольдса переход от натуральных
размеров к уменьшенным размерам моделей
должен сопровождаться увеличением характерных скоростей:
Согласно же критерию (3.17) Фруда переход от больших размеров к меньшим
должен сопровождаться уменьшением характерных скоростей. Следовательно,
полного подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости с одним и тем же
коэффициентом вязкости, с соблюдением критериев подобия Фруда и
Рейнольдса осуществить нельзя. Практически приходится в каждом конкретном
случае выбирать из этих двух критериев наиболее существенный и
пренебрегать другим. Число F имеет преимущественное значение в задачах,
где преобладают силы тяжести, например в тех случаях, когда основным
вопросом исследования служит вопрос о волновом сопротивлении модели
судна, обусловленном действием силы тяжести. В случае движения вязкой
жидкости без свободных границ за основной критерий подобия принимается
число R. Для такого рода течений число Рейнольдса, как это далее будет
показано, является основным характеристическим числом, характеризующим
качественные особенности течений вязкой несжимаемой жидкости.
Так как число Рейнольдса в уравнении (3.2) было получено
П2
в результате деления множителя у- при квадратичных членах инер-
*-о
ции на множитель при слагаемом, обусловленном вязкостью, то
Lo
оно своим значением будет характеризовать порядок величины отношения сил
инерций к силам вязкости. Это, например, будет означать, что с
увеличением значения числа Рейнольдса будет увеличиваться порядок величин
отношений сил инерции к силам вязкости.
(70У0)" = (L0V0)i,
(3.16)
а из равенства чисел Фруда:
•2
(3.17)
§ 4] ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ жидкости 1 1 1
§ 4. Интегральные формулы для результирующего воздействия
жидкости на поступательно движущееся в ней тело
Рассмотрим случай поступательного движения тела в вязкой жидкости (рис.
23). Напряжение на площадке dS поверхности рассматриваемого тела
представляется в виде
Pn=Pxl + Pym + Pz>h (4-1)
где I, т, п суть направляющие косинусы внешней нормали к площадке dS.
Следовательно, главный вектор и главный момент сил воздействия окружающей
жидкости на рассматриваемое тело представятся в виде
Я = / / (Pj+Рут+ргп) dS\ (4.2)
s
L = JJ rX(Pj-Vpvm+Pzn)dS. (4.3)
s
Проекция вектора напряжения pn на ось х на основании (4.1) будет
представлена в виде
Рпх Рхх^'~'\~ Pyx(tm)- I Pzx^' (4*4) Рис. 23.
Подставляя в правую часть (4.4) значения рхх, рух и pzx из равенств (6.1)
главы II, получим:
Второе слагаемое в правой части (4.5) есть производная по нормали от
скорости и:
ди . . ди ди ди .. "ч
dtl+dfm + din = *i> <4-6)
а так как
ди " dv dw
dx dy Hz'
то последнее слагаемое в скобках в правой части (4.5) можно представить в
биде
ди . , dv . dw . dv dv , . dw dw,
rxl+d-xm+dHtl = l{]+rxm-^l+dHn-H-zL <4-7)
