Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 47

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 170 >> Следующая

С2 = 0.
Таким образом, решение рассматриваемой задачи будет представляться в виде
Сопоставляя полученную формулу (4.7) для расхода с формулой
(3.8) для случая течения между двумя неподвижными стенками, мы заключаем,
что формулу (4.7) можно получить из формулы (3.8), разделив правую её
часть на два и заменив перепад динамического давления через pg'sina:
Формула (4.8) получается из первого уравнения (1.6) при использовании
условия (1.5). Следовательно, для рассматриваемого случая можно было
задачу решать в другом порядке, а именно сначала воспользоваться
уравнениями равновесия (1.6) и определить из них перепад статического
давления, затем воспользоваться (1.5) и, требуя отсутствия перепада
полного давления, опрёделить соответственный перепад динамического
давления. После этого взять решение задачи между двумя параллельными
неподвижными стенками, заме^ нить в нём перепад динамического давления
согласно (4.8) и рассматривать только течение между стенкой и средней
линией, на которой сила вязкости обращается в нуль.
и _ - sin ay2 + СхУ +
На основании граничных условий (4.3) и (4.4) получим:
С, = - sin а,
1 V
и = -к- sin a (2yh -yq).
(4.5)
Максимальная скорость имеет место на свободной границе
(4.6)
Расход Q равен
h
(4.7)
о
(4.8)
126 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. iV
Течения жидкости со свободной поверхностью имеют место в действительности
в каналах и реках. Однако к этим случаям формула (4.5) распределения
скоростей по глубине не может быть применима на том' основании, что в
реальных условиях траектории всех частиц не будут строго прямолинейными и
параллельными, т. е. течения жидкости в реках и каналах нельзя считать
ламинарными.
§ 5. Прямолинейное движение вязкой жидкости в цилиндрической трубе
Дифференциальное уравнение Пуассона (1.8) в полярных координатах г и <р
представляется в виде
<?2 и 1 to 1 А 1 дря
дг2 "г" г дг ' г% д<р2 (х дх (5-1)
Будем предполагать, что установившееся прямолинейно-параллельное течение
вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической
трубе обладает осевой симметрией, т. е.
?-0. (5-2)
При этом предположении уравнение (5.1) примет вид
(Ри , 1 du 1 др"
Ir^"^ Т W = ^ ТГ '
Обозначая радиус трубы через а, записываем граничное условие:
при г = а и = 0. (5.4)
Представляя дифференциальное уравнение (5.3) в виде
d (rdu)-. 1 дРя
rdr\ dr 1 (i дх
И проводя последовательно два интегрирования, получим общее решение
рассматриваемого уравнения
и = (5-5)
Так как определяемая скорость и должна быть конечной при всех
значениях г, а найденное общее решение обращается в бесконечность при г -
0, т. е, на оси трубы, то мы должны положить:
Сх = 0.
Используя граничное условие (5.4), получим:
1 дРл -
I {)] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ i2f
Гаким образом, распределение скоростей по сечению цилиндрической грубы
будет параболическим, т. е. будет представляться следующей формулой:
1 др ¦
" = -4^<а2-г2>- <5-6>
Распределение же силы вязкости, приходящейся на единицу площади, по
сечению будет линейным:
ди _ 1 - дря дг ^ 2 '
(5.7)
Через элементарное кольцо ширины dr будет проходить количество жидкости,
равное 2itr dr и.
Следовательно, полный расход Q через сечение равен
а
Q-=2fi J urdr. ,5.8)

Подставляя значение и из (5.6) и проводя интегрирование, получим
следующую формулу Пуазейля для расхода:
я / др"\ а*
"=т(-*г)тг- <5-9>
Формула (5.9) показывает, что при прямолинейном установившемся движении
вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической круглой трубе расход прямо
пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы, четвёртой
степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
Этот закон для расхода был экспериментально установлен Пуазейлем *) в
1840 г. при систематическом исследовании воды в узких трубках. Формула
(5.9) широко используется для определения коэффициента вязкости капельных
жидкостей. Простейшая схема прибора для определения вязкости составляется
из цилиндрического сосуда, к дну которого прикреплена тонкая
цилиндрическая' трубка с краном на конце (рис. 29). Давление у входа в
цилиндрическую трубку будет равно весу столба жидкости ^Н, сложенному с
атмосферным давлением ра, а на выходе давление будет равно ра. Разделив
пере над давления на длину трубки I, получим:
дРд _ тя
дх - I *
(5.10)
*) См. сноску на стр. 20.
128 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (гл, IV
Для определения расхода может быть использована шкала с делениями,
прикреплённая к боковой поверхности цилиндра. Подставляя значение
перепада давления (5.10) в (5.9), получим формулу для вычисления значения
коэффициента вязкости по измеренным величинам расхода
<5Л1>
где а - радиус трубы, ^ - удельный вес жидкости.
Если поделить расход Q на всю площадь сечения, то получим среднюю
скорость
Q а* / дрл \
"" = ¦? = %(- Ш <5Л2>
Максимальная скорость будет иметь место на оси трубы
_f_(_ дРЛ
"max - 4u, ^ дх )'
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed