Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
дх'ду' дг
(1.1)
l/sO, яаО.
(1.2)
116 точное Интегрирование уравнений установившегося движения 1гл. iv
При этом предположении из уравнения несжимаемости будем иметь:
ди
(1.3)
Таким образом, единственная проекция вектора скорости и вдоль всей
траектории будет оставаться постоянной и может изменяться только в
поперечном к траекториям направлении.•
При использовании (1.2) и (1.3) дифференциальные уравнения (1.1) ещё
более упростятся:
1 др , 1д'-и . д2и
Р дх' 41 \ду2 '
д2и\
дг2)
О,
у
.1^ = 0 Р ду и>
Ft-±% = 0.
г р дг
(1.4)
Обратим внимание на то обстоятельство, что благодаря предположениям (1.2)
и следствию из них (1.3) квадратичные члены инерции совершенно выпали из
полных уравнений (1.2).
Представим давление в виде суммы двух слагаемых, из которых одно будет
представлять статическое давление, обусловленное действием массовых сил,
а второе - динамическое давление, непосредственно связанное с движением
жидкости, т. е.
Р = Рс+Ря- (1.5)
Статическое давление определяется из уравнений равновесия
1 дра
Рх----
(r) Р
'•-7
дх
дРа
ду
дРо
дг
0,
0,
: 0.
(1.6)
Подставляя (1.5) в уравнения (1.4) и используя уравнения (1.6) и
выражение для кинематического коэффициента вязкости
р.
получим следующие уравнения:
дР* (д2и д2и\
§ 1] ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ 117
На основании последних двух уравнений (1,7) заключаем, что динамическое
давление не будет зависеть от у и z, Так как правая часть первого
уравнения (1.7) зависит от у и г, а левая часть может зависеть только от
х, то левая и правая части этого уравнения должны быть равны одной и той
же постоянной величине, т, е,
дРл
-Т-^-= const, дх
Таким образом, для прямолинейно-параллельного установившегося движения
вязкой несжимаемой жидкости перепад давления на единицу длины в
направлении движения постоянен.
Задача об изучении прямолинейно-параллельного установившегося движения
вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению дифференциального
уравнения Пуассона
д2и , д2и 1 др"
^Га+ Ш = 7~дх ' (1-8^
правая часть которого представляет собой постоянную величину. Если
движение частиц жидкости считается прямолинейно-параллель-
ным, то границы жидкости должны быть строго цилиндрическими
поверхностями, образующие которых параллельны траекториям частиц. Так как
скорость и частиц не зависит от координаты х, то достаточно рассмотреть
лишь одно сечение границ течения в плоскости yOz. В простейших случаях
границы течения в плоскости yOz могут состоять либо из одного контура,
либо из двух контуров, из которых один будет находиться
внутри второго (рис. 24). В первом случае область будет односвязной, а во
втором -двусвязной.
Чтобы удовлетворять условиям прямо- Рис. 24.
линейности траекторий частиц и стационарности движения, границы течения
должны 1) либо быть неподвижными, 2) либо перемещаться параллельно самим
* себе с постоянной скоростью. Принимая в качестве граничного условия
условие прилипания, будем иметь в первом случае на неподвижной границе
и = 0, (1.9)
а во втором случае на подвижной границе
" = t/ = const. (1-10)
Таким образом, задача изучения прямолинейно-параллельных установившихся
течений вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Пуассона
Cl ,8Vпои гоаничных условиях (1,9) и (1.10),
118 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Так как правая часть уравнения (1.8) является постоянной, то его можно
свести к уравнению Лапласа следующей заменой:
" =++4%-СУ+А (1.11)
При такой замене рассматриваемая задача о прямолинейно-параллельном
движении вязкой несжимаемой жидкости будет сводиться К ргешению уравнения
Лапласа для функции ф
3+8=° с-12)
при граничных условиях: на неподвижной стенке
= о 13)
на подвижной стенке
¦ = и-4%0-а+га). (1.14)
§ 2. Аналогия задачи о прямолинейно-параллельном движении вязкой жидкости
с задачами вращения идеальной жидкости и с задачей кручения
призматического бруса
Поставленная в предшествующем параграфе задача об установившемся
прямолинейно-параллельном течении вязкой несжимаемой
жидкости в математическом отношении сходна с некоторыми задачами о
движении идеальной жидкости и с задачей о кручении призматического бруса.
Рассмотрим случай односвязной области в плоскости yOz в предположении,
что огра-У7//////////////7 ничивающий контур представляет собой
неподвижную твёрдую стенку. Задача об ис изучении установившегося
прямолинейно-
параллельного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе постоянного
сечения с произвольным очертанием (рис. 25) сводится к решению уравнения
Лапласа
Щ ,^_0. /21)
при граничном условии
<2-2> 1 дрд
где коэффициент - является постоянным.
Представим себе, что цилиндрический сосуд, сечение которого совпадает с
сечением трубы (рис. 25), наполненный идеальной и
I 21 АНАЛОГИЯ ЗАДАЧИ О ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ И 9
несжимаемой жидкостью, вращается с угловой скоростью со вокруг эси х.
Предполагая движение идеальной жидкости внутри сосуда
