Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
- т) fj2 2^ Syy + + 2 (s%y + (5-5)
Уравнение (5.5) можно рассматривать как уравнение притока внутренней
энергии за единицу времени в фиксированной частице вязкой жидкости.
Источниками изменения внутренней энергии частицы вязкой жидкости, таким
образом, будут: 1) теплота, поступающая благодаря процессу
теплопроводности, 2) работа сил давлений, связанная с изменением
плотности частиц, и 3) некоторая часть работы вязких напряжений.
Для случая так называемого совершенного (идеального) газа внутренняя
энергия единицы массы равна
Принимая теплоёмкость cv постоянной и подставляя значение s в уравнение
(5.5), получим следующее уравнение притока тепла для совершенного вязкого
газа-.
ре* ГдТ . дТ . дТ . дТ] _ 1 Г д / дТ\ , д ( дТ\ ,
Т Lш+ U Тх+ v W+ w dF 1 - A Lд~х V Ш + Ту v д7) +
+и(*я)]-^+(''-%)',+а1'[(c)+(г,)Г+(к),+
§ 6. Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
В § 3 были установлены дифференциальные уравнения движения жидкости в
напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора
скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими
компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей
деформации. Такое преобразование мы проведём лишь для случая вязкой
жидкости, для которой принимается обобщённая гипотеза Ньютона,
связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций
линейными соотношениями (11.1) и (11.16) главы I.
§ 6] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 91
В декартовых координатах соотношения (11.18) главы ставляющие обобщённую
гипотезу Ньютона, имеют вид
/ dv , ди\
Рху 1* ( -р у j >
pxx~-P-Jr^-jjc + (Kk' - Y)^> Руу - - Р + + (*¦' - т)fj'
\дх
(dw
Pzz = -P+ 2Р
dw
dz
Jyz
Pzx
(dw I
3y+'",
I du. I dw \
= 4^ + ^J-
пред-
(6.1)
Будем считать жидкость несжимаемой, т. е.
О.
dx 1 dy 1 **
dz
(6.2)
Кроме того, положим коэффициент вязкости р постоянным:
р = const. (6.3)
Подставляя при этих предположениях выражения (6.1) в правые части
уравнений (3.3), получим следующие дифференциальные уравнения движения
вязкой и несжимаемой жидкости, представленные через составляющие вектора
скорости в декартовых координатах'.
L _ dt + u du ~dJc du dj + w da dz
dv ~dt + u dv m dv + w dv dz
dw -\-u dw dw + dw
dt dl dy w dz
х р dx 1
= Fy- bv,
У р ду 1
= F L^E-J-s^w
z р дг^ '
(6.4)
где Д- дифференциальный оператор Лапласа, а ч- кинематический коэффициент
вязкости.
Пользуясь выражениями (8.9) главы I для скоростей деформаций, можно
представить обобщённую гипотезу Ньютона для несжимаемой вязкой жидкости в
цилиндрических координатах следующими соотношениями:
_ / 1 dvr dv9 w,a
Prf ~ ^\7Щ + W - 7)'
1 dvz\ zfy '
dvr
Prr P ~t- 2p. ;
/vr 1 dv^\
Pn - -P + (7 + 7 '
_ ldvf 1 Pfz - P ("5F 7
Pzz - -P + 2p
do*.
dz '
(dvz . dvr\ Pzr = V-{jf + ^z)-
(6.5)
Подставляя (6.5) в правые части уравнений (3.7) и используя уравнение
несжимаемости (6.2), представленное в виде
dvr vr 1 dvv ! dvz
92 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости с
постоянным коэффициентом вязкости в цилиндрических координатах
dv
dv
v," dv
dv.
•
Г
. 1 dp / vr 2 dvv\
dv" dv" , v"dv" dv"
= Fr
dz ' r 1 dp
/¦a d? / :
l Op I v^ 2 <tor\
pr (?<? \ ^ Г2 Г2 d'f j '
dvz dvz v^dv, .dv, 1 dp
~df + vr W + У ^ + v* л7 - F* - ~Л7'+ v
r dz
dz
(6.7)
где оператор Лапласа Д имеет вид
А - - _j i_ _? j I _У1
' dr% "т- г dr'r% (?ф3 dz1* '
г dr г2 d<f2
(6.8)
Обобщённая гипотеза Ньютона в сферических координатах при использовании
равенств (8.11) главы I представляется в виде
R sin 0 д f 1 dv.
dvR
Prr ~ Л + 211 ~dp >
P" = -P+^(^'
, 0 Fr , 1 *"e\.
Pm = - е + 2Р{7?+яж)'
dVa
Prs
ЛФ0 = ^ sin 0 d<f i r дЪ
1 dv9 vfl ctg 0 \ 4 R ]'
dva
_ i R i 0
~ 11 U <?0 + dR RJ' Pf R -V* \dR 1 dv9 [ 1 dvy vv ctg 0 ^
"T~ ~o ) •
1 dvr
R sin 0 drJf
R)'
(6.9)
Подставляя выражения (6.9) в правые части уравнений (3.11) и используя
уравнение несжимаемости
dvR | 2vr , 1 <4 dR ~т~ R R d0
1 dv"
va ctg I
R sin 6 d'f
0,
(6.10)
получим дифференциальные уравнения движения несжимаемой жидкости с
постоянным коэффициентом вязкости в сферических коорди-
начальные и граничные условия
93
натах
dvR , dvR , v4 dvR , v<t dvR
' VR rl?> "Г n Afi ы
~5t~ ll!)R~r~~R "DT ~т~ ЯёёГо ~dy ~R
\ dp / 2v" 2v" 2 dv№ 2 dvR\
= R ~~ J dR^~',\Avji~~R^~~ 7Д ctg fJ " RI sin Ъ~ду~~№ ж)'
dvb i диь I vedve I v9 dvb i VRVe <ctSe
)/ I n Afl ~l '
~^ dR R dO A* sin 0 dy R R ~~
1 dp / ve 2 cos 6 dvf 2 dvs\
~ 0_рЯ^РЛ0 tf2Sin20 Ri Sin2 0 ДД + RZ J ,
dv<p | ( fe dftp : ff, dfj, : Г'дГ'ф , ^ffiCtgB _
~dt^VRl:R~^R'~db + tf7hi7) dy + R
,. :__^,./A pt- 2 cos 6 dp, 2 дрду
f pA* sin 0 dip \ ^ A*2 sin2 0 R2 sin2 0 dy A*2 sin 0 dy ) '
(6.11)
где
dR* ^ R dR ~ tf2 <Э02 ~ R* <50 ~ R2 sin2 6 dy* У"-1-)
Аналогичным путём можно получить дифференциальные уравнения движения
вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами вязкости.
