Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается других сред, рассмотренных в § 12 главы I, то
дифференциальные уравнения движения таких сред можно выразить через
составляющие вектора скорости лишь в тех случаях, когда соотношения,
связывающие напряжённое состояние с состоянием деформаций, могут быть
разрешены относительно всех компонент напряжений. Во всех других случаях
необходимо соотношения связи напряжений с деформациями рассматривать
совместно с дифференциальными уравнениями движения среды в напряжениях.
§ 7. Начальные и граничные условия для вязкой несжимаемой жидкости
Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным
коэффициентом вязкости необходимо решать совместно систему
дифференциальных уравнений (6.2) и (6.4) с частными производными второго
порядка. Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать
произвольные функции, для определения которых необходимо задавать
начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь
в том случае, когда изучается неустановившесся движение жидкости. В этом
случае должно считаться известным всё движение жидкости для какого-либо
фиксированного момента времени, например для начального момента t = 0.
94 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
Для этого момента времени должно быть задано распределение скоростей и
давлений, т. е.
при t = 0 и = и0(х, у, z), v = v0(x, у, z), w = w0(x, у, г),
р=р0(х, у, г), (7.1)
где и0> v0, w0 и р0 - заданные функции координат.
Во многих случаях на искомые функции и, v, w и р накладываются
ограничения, вытекающие из существа самих задач, не только
в отношении однозначности, но и в отношении ограниченности их значений.
Эти требования однозначности и ограниченности искомых функций играют роль
своего рода краевых условий, так как они позволяют исключать из решений
произвольные функции, вносящие неоднозначность в распределение скоростей
и давлений либо обращающие их в бесконечность.
К простейшим граничным условиям относятся: 1) условия на твёрдых
недеформируемых стенках, вообще говоря, подвижных и 2) условия на
деформирующихся поверхностях раздела, отделяющих две несмешивающиеся
жидкости.
При обтекании вязкой несжимаемой жидкостью твёрдых стенок должно
выполняться следующее кинематическое условие', частицы не могут проникать
через твёрдые стенки и отрываться от них. Это кинематическое условие
будет выполнено, если существует равенство проекций на нормаль к
поверхности стенки векторов скоростей частиц жидкости и соответственных
точек твёрдой стенки, т. е.
^Тп = (7*2)
Этого условия было достаточно для изучения движения идеальной жидкости,
для которой дифференциальные уравнения содержали лишь частные производные
от скоростей и, v и w первого порядка. Для изучения же движения вязкой
жидкости одного условия (7.2) будет недостаточно не только с физической
точки зрения, но и с формальной, так как порядок дифференциальных
уравнений повысился. К кинематическому условию (7.2) необходимо
присоединить ещё и динамическое условие. Коль скоро мы допустили, что
частицы вязкой жидкости взаимодействуют друг с другом не только
давлением, но и с помощью внутреннего трения, то с тем же основанием мы
должны предположить и наличие касательного взаимодействия частиц жидкости
с точками стенки. Это касательное взаимодействие частиц жидкости с
точками стенки будет представлять собой внешнее трение жидкости. Силу
внешнего трения, приходящуюся на единицу площади, принято считать
пропорциональной разности касательных скоростей частиц жидкости и точек
стенки, т. е.
РЮ' = Ь(У" - V,), (7.3)
где X- коэффициент внешнего трения, рп. - касательное напряжение,
вычисляемое через скорости деформации согласно обобщённой
НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
95
гипотезе Ньютона. Возьмём элементарную площадку Дз на поверхности стенки
с нормалью, направленной внутрь жидкости (рис. 21). Вектор касательного
напряжения рпт можно представить в виде
Pni = Рп Рпп'
С другой стороны, в силу условия (7.2) будем иметь:
v" -Vx= V, -V.
Рп
Рис. 21.
Пользуясь этими равенствами, динамическое условие (7.3) можно представить
в виде
Pn-Pnn - x(vr~V)' (7.4)
Проектируя левую и правую части (7.4) на оси координат, вводя
направляющие косинусы I, т, п нормали и используя формулу (10.3) главы I,
получим следующие три соотношения, выражающие динамические условия на
твёрдых стенках:
Pnzc (Рпх^ 1 РпуМ 1 Рпг^ ^ (цт ^)"
Рпу - (Рпх1 + Рпу(tm) + Pnzn) m = \(vT - v), Рпг - iPnJ + Рпут + Pnz") n =
k(W.t-w),
(7.5)
В ранних работах по теории движения вязкой жидкости предполагалось, что
коэффициент внешнего трения имеет конечную величину. Но проведённые в
последующее время тщательные опыты и измерения скоростей частиц вблизи
стенок показали, что коэффициенту внешнего трения следует придавать
весьма большие значения. На этом основании значение этого коэффициента
теоретически можно считать бесконечно большим. Так как левая часть
равенства (7.4) является конечной, то, предполагая коэффициент бесконечно
