Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, т. е.
dT=d'Ae + d'A\ (2.8)
где Т представляет собой кинетическую энергию механической системы, d'Ae
- элементарную работу всех внешних сил и d'A1-элементарную работу всех
внутренних сил. В рассматриваемом нами случае элементарная работа всех
внешних сил по отношению к массе, заключённой в объёме т, будет
представляться первыми двумя слагаемыми в правой части (2.7), т. е.
d'Ae = A1dt + A.2dt.
А тогда элементарная работа всех внутренних сил деформируемой среды будет
представляться последним слагаемым в правой части
d'A< = -i, j J J (p. •!! + /.,• %+p, ¦ §)d<. (2.9)
1U4
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. III
Из полученного равенства (2.7) следует, что на элементарное изменение
кинетической энергии движения фиксированной массы расходуется вся
элементарная работа внешних массовых сил и лишь часть элементарной работы
внешних поверхностных сил, т. е. сил напряжений. Другая же часть
элементарной работы внешних поверхностных сил не расходуется на изменение
кинетической энергии, и поэтому можно полагать, что она расходуется на
изменение формы, объёма и температуры элементарных частиц, т. е. идёт на
изменение внутренней энергии, что и подтверждается уравнением (2.1). Для
случая несжимаемой жидкости внутренняя энергия может состоять лишь из
одной тепловой энергии, поэтому та часть элементарной работы сил
напряжений, которая не будет расходоваться на изменение кинетической
энергии, будет -расходоваться на изменение тепловой энергии, т. е. будет
рассеиваться.
Обозначим энергию рассеивания, приходящуюся на единицу объёма и на
единицу времени, через Е, т. е.
Раскрывая скалярные произведения в левой части (2.10) и подставляя
значения напряжений по обобщённой гипотезе Ньютона для несжимаемой
жидкости, получим:
Выражение в правой части (2.11) всегда положительно, за исключением
случая, когда все производные от скоростей по координатам обращаются в
нуль. Следовательно, движение вязкой несжимаемой жидкости будет
происходить без рассеяния механической энергии лишь в том случае, когда
не будет происходить деформаций частиц, т. е. когда жидкость будет
перемещаться как твёрдое тело. Во всех других случаях движения вязкой
несжимаемой жидкости будет происходить потеря механической энергии.
Вычитая из правой и левой части (2.11) соответственно выражение
(2.10)
(2.11)
и вводя компоненты вихря, получим:
§ 2] ТЕОРЕМА О РАССЕЯНИИ ЭНЕРГИИ 105
Умножая левую и правую части (2.12) на элемент объёма dx и проводя
интегрирование по всему объёму, получим количество механической энергии,
рассеиваемой за единицу времени в конечном объёме х.
J J = 4ц JJ J W + ^-4,JJj (Ц-^-
dv dw dz
dw.dwdu dw du du dv du dv\,
dy ' dz dx dx dz ' dx dy dy dx) ' '
Если границы объёма x будут представлять собой неподвижные твёрдые
стенки, на которых в силу условия прилипания проекции вектора скорости
будут обращаться в нуль, то после интегрирования по частям будем иметь:
Г Г f ( dv - ^v dw\d__________
J J J \dy l)z~Jz dy)
- J Jv [sr cos ^n' ^ dy cos ^n' z)] dS = 0>
s
и аналогично с другими слагаемыми в правой части (2.13). Следовательно,
при движении несжимаемой жидкости, заключённой в неподвижном объёме,
полное количество рассеиваемой механической энергии за секунду будет
зависеть только от интенсивности вихрей внутри объёма и будет
представляться в виде
/// ?Л=4р///("& +а?+юр dt. (2-14)
X X
Пусть оси х, у, z будут совпадать с главными осями деформаций в
рассматриваемой точке, тогда энергия рассеяния (2.11) будет
представляться через главные скорости деформаций в виде
Е = 2'j. (s2 -|- -(- е~). (2.15)
Умножая левую н правую части на и вычитая из левой н правой части
соответственно выражение
0 = (X (Sj -|- е3 -|- е3)з,
получим:
- й1 [(ei - 4" (Ч - ез)2 4" (ез - ei)2]. (2-16)
Выражение в квадратной скобке в правой части (2.16) представляет собой с
точностью до множителя не что иное, как квадратичный инвариант девиатора
скоростей деформаций, рассмотренного нами в § 7 главы I, который в свою
очередь пропорционален скорости деформации результирующего сдвига частицы
((7.12) гл. 1). Таким образом, скорость рассеяния механической энергии
для несжимаемой жидкости пропорциональна квадратичному инварианту
девиатора скоростей деформаций или пропорциональна квадрату ркорости
деформации результирующего сдвига частицы, т. е.
Е = 4 = 6р. ?2. (2,17)
106
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
§ 3. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости
Дифференциальные уравнения (8.1) главы II движения вязкой несжимаемой
жидкости преобразуем к безразмерным величинам. Для этого все входящие в
эти уравнения величины выразим через величины той же размерности, но
являющиеся характерными для рассматриваемого течения. Так, например, при
движении жидкости в круглой цилиндрической трубе за характерный
геометрический размер можно взять диаметр трубы, а за характерную
скорость - среднюю скорость по течению. При обтекании жидкостью шара за
