Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдём теперь к новым осям координат (рис. 23), состоящим из нормали п
в рассматриваемой точке поверхности тела и из двух
112
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ш
касательных Xj и т2. Производная от скорости v по координате х будет
равна
dv dv dn I dv , dv dx3
dx dn dx~* dttdx dx3dx
Аналогично запишутся и другие производные, входящие в правую часть (4.7).
Так как тело перемещается поступательно и в качестве граничного условия
принимается условие прилипания, то вдоль всей поверхности тела компоненты
скорости частиц жидкости будут постоянными величинами. Следовательно,
производные от скоростей частиц по направлениям касательных к поверхности
тела будут обращаться в нуль, т. е.
% = °- <4-8>
Выражения
лп /4 п лп
V4-9)
¦направляющие косинусы нормали.
Используя (4.8) и (4.9), будем иметь:
dv = 0, dv = 0, dw - 0,
dxt ~ di2 dxt '
dn dn dn
dx = I, dy " = m, dl:
dv dv
dx
dw dw . (dw ,\ (dw \ . A
= ж n)l = 0>
dii dv . dw Txl + d^m + Mn = lb-
(4.10)
Таким образом, на основании (4.6) и (4.10) напряжение рпх на поверхности
поступательно движущегося тела в вязкой жидкости будет представляться в
виде
Рпх - [-Р~\~ (^ + 1")(r)] (4-11)
(4.11) для других проекций век
Рщ = [-+ у) т + 1
По аналогии с (4.11) для других проекций вектора напряжения будем иметь:
dv )
'^dn' I
г / . -i , } (4.12)
Аи = [- 7,+ (А' + т)Й]/г + 1АЖ- J
Умножая левые и правые части (4.11) и (4.12) на единичные векторы осей
координат соответственно и складывая, получим вектор напряжения на
площадке поверхности поступательно движущегося тела
Рп = [-+ + -j) ,JJ (^' + тУ + л^) + й-^- (4-13)
§ 4] ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ЖИДКОСТИ 113
Подставляя значение рп из (4.13) в правые части (4.2) и (4.3), по* лучим
выражения для главного вектора и главного момента сил воздействия на
тело, поступательно движущееся в вязкой жидкости:
R= I /[-^ + (^+з-)0](л+"¦/+"*)rf5 +I1/ J ^dS' <4Л4>
s s
L = J J {rX ?-P + (li -f- Щ + nk) J rfS-j-
jS
+^!rx^ds- (4Л5)
s
Для случая несжимаемой жидкости 8 = 0 и
R = -^p(li-\-mj-\-nk)dS + v.ndd?dS. (4.16)
s ' s
Первое слагаемое представляет собой результирующее воздействие жидкости
на тело, обусловленное давлением, а второе - результирующее воздействие
на тело сил вязкости.
/ dv Оуу \
Для плоско-параллельного течения 1г"г = 0, -^ = 0, -~=0\ и
для осесимметричного ^ = 0, ^ = 0, ^ = 0^ уравнение несжимаемости (1.8)
главы II в криволинейных координатах qly q%, q% будет представляться
одинаково:
- 0. (4.17)
Допустим, что в потоке вязкой несжимаемой жидкости помещено неподвижное
тело с поверхностью S и криволинейные координаты выбраны таким образом,
что эта поверхность входит в семейство координатных поверхностей
qx = const.
Граничное условие прилипания в этом случае (г"3 = 0) представится в виде
при qx - a v1 = 0, г"2 = 0. (4Л 8)
Так как условия (4.18) выполняются при постоянном значении координаты qv
то их можно частным образом дифференцировать по второй координате q%y т.
е.
"р" ^=адй=°'Ш=0' (4Л9)
Используя (4.18) и (4.19), из уравнения несжимаемости (4.17) получим: при
q1 = ad^ = 0. (4.20)
i 14 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ вязкой жидкости (гл. III
Обозначая через iv *2, и *3 единичные векторы касательных к координатным
линиям в рассматриваемой точке на поверхности S и учитывая, что линейный
элемент нормали к этой поверхности будет равен
можно написать:
dV 1 d .....
dd ~ W1dii('Vlll + v^)'
Используя (4Л8) и (4.20), будем иметь:
1 dv2.
№ - J_
\dnja Н1
dqt
h- (4.21)
Главный вектор воздействия вязкой несжимаемой жидкости на неподвижное
тело из (4.16) будет равен
я=.(1(-'"'+в-$AdS- <4-22>
S
Компонента о>3 вектора вихря в криволинейных координатах на основании
(8.8) главы I представляется в виде
•^тгХк^-к^М- <4-23)
Учитывая равенства (4.18) и (4.19), будем иметь:
(•Л = вд- (4'24)
Подставляя значение^ из (4.24) в (4.22), получим:
oqi
R ~ J J + 2[х(в312) dS. (4.25).
Таким образом, при плоско-параллельном и при осесимметричном обтеканиях
неподвижного тела воздействие вязкой несжимаемой жидкости на это тело
зависит от распределения по его поверхности давления и вихря.
ГЛАВ А IV
СЛУЧАИ ТОЧНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ
ДВИЖЕНИЯ вязкой ЖИДКОСТИ I 1. Общая ^постановка задачи о прямолинейно-
параллельном установившемся Движении жидкости
В конце главы II было указано, что наиболее простым способом решения
дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости является способ, в
основе которого лежит заранее принимаемое предположение о форме
траекторий всех частиц жидкости. В данной главе, следуя этому способу,
рассмотрим отдельные примеры установившихся движений вязкой и несжимаемой
жидкости.
Если жидкость считать несжимаемой
и движение предполагать установившимся
то дифференциальные уравнения (8.1) Главы II будут представляться в виде
Рассмотрим случай, в котором траектории всех частиц будут строго
прямолинейными и параллельными между собой, т. е.
р == const
