Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 45

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 170 >> Следующая

5езвихревым, задачу можно свести для функции тока ф к
задаче
Дирихле х)
8+3=* <2-3>
на контуре
ф = _Лсо(^ + 22) + С. (2.4)
Гаким образом, от решения рассмотренной задачи вращения идеальной
жидкости можно перейти к решению соответственной задачи э прямолинейно-
параллельном движении вязкой жидкости с помощью Эдной только замены
угловой скорости через перепад давления
1 дРя
СО = 7^-5-.
2(i дх
Постоянное С в (2.4) следует тогда положить равным нулю. Предположим
теперь, что неподвижный цилиндрический сосуд с сечением, представленным
на рис. 25, заполнен идеальной несжимаемой жидкостью, но находящейся в
вихревом движении. Если частицы идеальной жидкости перемещаются
только в плоскости yOz, то уравнение
несжимаемости будет представляться в виде
dv , dw n
dy-1- dz '
а вихрь вектора скорости будет равен
1 (dw dtЛ 1 /<?2ф . <?2ф\
w - ~2\dy ~~ dz) - ~ 2 {dyZ'd^)'
Гак как граничный контур является линией тока, то на границе функция тока
будет равна постоянной величине. Если положить интенсивность вихря во
всей области постоянной, то тогда задача изучения движения идеальной
несжимаемой жидкости сведётся к решению уравнения Пуассона
*J+*i = -2. (2.5)
при граничном условии
ф = с. (2.6)
Сопоставляя эту задачу с задачей (1.8), (1.9), мы приходим к тому
заключению, что для формального перехода от решения задачи о вихревом
плоско-параллельном движении идеальной несжимаемой жидкости с постоянной
интенсивностью вихря к решению задачи об
х) См. Кочин, Кибель и Розе, Теоретическая гидромеханика, т. I, 1948,
стр. 238.
120 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. IV
установившемся прямолинейно-параллельном движении вязкой несжимаемой
жидкости в цилиндрической трубе той же формы надо лишь положить;
^ дх ' У (2.7)
с = 0. J
Рассмотрим теперь задачу о кручении призматического бруса, сечение
которого представлено на рис. 25. Принимая по Сен-Венану *) компоненты
упругих смещений в виде
u = vp(y, г),
v = - xxz,
- zxy,
где z - степень кручения, <p - функция кручения Сен-Венана, на основании
уравнений равновесия получим для <р уравнение Лапласа
д2<р д*ч _ " Йу2~г
Вводя сопряжённую с <р гармоническую функцию ф и удовлетворяя условию
отсутствия поверхностных сил на боковой поверхности бруса, приходим к
задаче Дирихле
д2ф ,?2ф _ ау2~г - и>
на границе
ф = ^±^- + С. (2.8)
Сопоставляя задачу (2.8) с задачей (2.1) и (2.2) мы заключаем, что для
перехода к соответственной задаче о прямолинейно-параллельном
установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости надо посто1 янное С в
(2.8) считать равным нулю, а функцию ф, связанную с функцией напряжений
кручения соотношением
F(y, г) = От[ф(^, г)_1(у"+*а)],
умножить на постоянный множитель,- равный
1 дРл
2|а дх
Следует обратить особое внимание на последнюю аналогию рассматриваемой
нами задачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении вязкой
несжимаемой жидкости с задачей круче-
1) Л е й б е н з о н Л. С., Курс теории упругости, 1947, стр. 240.
§ 3) ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ 121
ния призматического бруса. Задачи о кручении призматического бруса решены
к настоящему моменту для весьма разнообразных случаев поперечных сечений.
Пользуясь указанной аналогией, можно весьма просто получить и решения
соответственных задач о движении вязкой несжимаемой жидкости.
§ 3. Прямолинейно-параллельное движение жидкости между двумя
параллельными стенками
В качестве простейшего примера задачи (1.8) прямолинейнопараллельного
движения рассмотрим установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости
между двумя параллельными стенками, простирающимися в направлении осей л:
и г: до бесконечности (рис. 26). Обозначим расстояние между стенками
через 2h. Начало оси_у возьмём на средней линии между стенками. Из
предположения о плоско-параллельности движения следует:
да п (3.1)
У
'/////////////, y/Z/Z////////////////////////.
t Zh О X
777T7?7777777Z^77777777777777777777777Z:77Z Рис. 26.
U2. Тогда рассматриваемая задача (1.8)
Пусть нижняя стенка перемещается с постоянной скоростью Uv а верхняя - со
скоростью сведётся к решению обыкновенного дифференциального уравнения
d2a 1 дря
dy а р. дх
при граничных условиях
при у - - л и = Uv
при у = h а - w2
Так как правая часть (3.2) постоянна, то общее решение дифферен циального
уравнения будет представляться в виде
"=^ж-^+с*>'+с>-
Сг и С2 определяются из граничных условий (3.3):
= UV )
: = t/a. I
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Ci=-
1
С2=т(^1+^2)-
1 дря
2(х дх
h2.
Таким образом, решение рассматриваемой задачи, удовлетворяющее граничным
условиям (3.3), будет иметь вид
i w <АЯ ¦+тт{U*~Ui)+т{Ui+(3 ¦,5)
и = ¦
122 ТОЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ОСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ [гл. IV
Первое слагаемое правой части (3.5) представляет собой то параболическое
распределение скоростей в сечении, которое обусловлено наличием одного
лишь перепада давлений. Остальные слагаемые представляют собой линейное
распределение скоростей, обусловленное движением самих стенок.
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed