Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
а уравнения (8.3) примут вид
ди | ди . , . , . . д%и
urx+vry=ku^x)b^w^
ди . dv "
Ш'ду '
Если ввести функцию тока, полагая
д'Ь д<Ь
и , v = - з-S о v дх '
(8.16)
498 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ |ТЛ. XII
то при использовании (8.6), (8.10) и (8.11) будем иметь:
У Д
ь - / И dy = bum J /(7)) d-(\ = bumF (Y|) = ficx^F (т,). (8.17)
о о
При этом значение функции тока на средней линии положено равным нулю.
Выполняя дифференцирование по координатам хм у, получим:
дЬ
v =
db
и - jF ду
дх
- Ilex-' , (I F (fj) _ г,, ;i J ,
тЗ = "Ь g - !*-¦{ j f (iH-rw
du
u 7Г ~ dx
(8.18)
-32x-2F'(^)[i-/;''(T1) + ^"(T1)
t" = - iVx-*F" (*,) [I f' (T,) - t,/' (*,)]
Таким образом, первое уравнение (8.16) будет иметь вид
F"p-{- F'1 = - - F'". (8.19)
Так как
(/=¦2)" = 2F"F+2F'-, то после двукратного интегрирования уравнения (8.19)
получим:
F' =
(8.20)
._^2+Cln+C.2.
Постоянные интегрирования получим из граничных условий: ^функция тока б
на средней линии обращается в нуль:
при т| = 0 /?(т() = 0,
2) продольная составляющая скорости и принимает экстремальное
значение на средней линии струи:
при т = ° = /?,/(т) = 0-
и 3) значение продольной составляющей на средней линии струи
обозначается через ит, т. е.:
при 7] = 0 U=z ит, F' (т,) = 1.
При выполнении перечисленных условий уравнение (8.20) примет вид
F' - 1 - с
4k
F*.
СВОБОДНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
499
Если провести интегрирование и учесть условия 1) и 3), то получим:
Используя (8.18) и (8.21), получим следующие выражения для продольной и
поперечной составляющей вектора скорости осреднённого течения в
рассматриваемой плоской струе:
Чтобы исключить из рассмотрения постоянные k и с, будем относить
расстояния произвольной точки в сечении струи от средней линии к
расстоянию той точки от оси, в которой продольная составляющая равна
половине скорости на самой средней линии, т. е.
и распределение продольной составляющей скорости по сечению плоской струи
будет представляться в виде
На рис. 109 график зависимости (8.23) представлен пунктирной кривой, а
сплошной линией представлена та зависимость, которая была получена
Толлминома) с помощью численного интегрирования
*) Toll mien W., Zeilsch. f. Ang. Math. u. Mech., т. IV, 1926. Это
решение дано в книге: Лойцянский Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя,
Гостехиздат, 1941.
или
(8.21)
. (8.22)
При таком предположении будем иметь:
е
(8.23)
500
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
уравнений без использования предположения о постоянстве в сечениях струи
коэффициента турбулентного объёма А. Данные экспериментов, представленные
на рис. 109 кружочками, располагаются тесно вблизи двух расчётных кривых.
Чтобы подсчитать полный расход через сечение рассматриваемой плоской
струи, примем, что формула распределения продольных скоростей по сечению
струи (8.22) остаётся справедливой и для того случая, когда ширина струи
асимптотически стремится к бесконеч.
7,00
у/у
Рис. 109.
ности, т. е. первая формула (8.22) остаётся справедливой для всех
значений т) от -со до -)-со. При таком предположении расход
массы будет представляться в виде
+ СО +СО __
Q = p J udy = pbum§ F'(i\)di\z=4y ^pbum.
- со -со
Учитывая при этом (8,8) и (8.10), получим:
Q = 4(3 Ykc р Ух. (8.24)
Таким образом, расход массы в плоской струе в начале струи обра-
щается в нуль, затем растёт неограниченно. Иначе говоря, вся струя
состоит из той жидкости, которая увлекается действием струи из
окружающего струю пространства.
§ 9. Структура турбулентного изотропного потока
В предшествующих параграфах были рассмотрены те простейшие случаи
турбулентных установившихся осреднённых течений жидкости, для изучения
которых было достаточно использовать понятие о турбулентном трении и
некоторые предположения о подобии распреде-
СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ИЗОТРОПНОГО ПОТОКА
UU 1
ления осреднённых скоростей и совершенно не потребовалось рассмотрение
внутренней структуры полей пульсации.
Качественные соображения о возможной структуре пульсационных движений
жидкости были подробно развиты А. Н. Колмогоровым 1). Согласно этим
соображениям на осреднённый поток жидкости при больших значениях числа
Рейнольдса накладываются поля "пульсаций первого порядка", состоящие в
беспорядочном перемещении друг относительно друга объёмов жидкости с
диаметром порядка длины характерного масштаба lv учитываемого в
полуэмпирических теориях турбулентности. Поля пульсаций первого порядка
при очень больших значениях R теряют свою устойчивость и на них
накладываются поля "пульсаций второго порядка" с линейным масштабом /2 <и
относительными скоростями v2<Cv1. Такой процесс последовательного
измельчения полей турбулентных пульсаций будет происходить до тех пор,
пока для пульсаций порядка п число Рейнольдса
р lnvn
не окажется настолько малым, что дальнейшее дробление пульсаций
парализуется существенным влиянием вязкости. Такая каскадная структура
пульсационного движения жидкости с энергетической точки зрения становится
