Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
и используя выражение (6.13), получим, как и в случае плоской трубы,
формулу линейного распределения турбулентного трения по сечению
' = '"(¦ -i)- <6Л4>
Следовательно, если пользоваться равенством (5.12) для турбулентного
трения и равенством (5.26) для характерной длины I, то последующие
вычисления будут
совпадать с вычислениями, проведёнными выше для случая
плоской трубы, и для распределения скоростей можно получить формулу
(6.11) с заменой h через радиус трубы а. Если же не пользоваться формулой
(5.26), а предполагать, что путь перемешивания I удовлетворяет
соотношению
i = <6Л5>
где функция Для малых значений аргумента близка к еди-
нице, то при использовании (5.12) и (6.14) получим:
J 1
V*
оЯ = 4103 с - =23,3 10J . - = 105 103 "¦¦=396 Ю3 •"= то
ю3 о" = 3240-Ю3
к Ро 10
\ Яо
'О э°
j у о
УЪ
Г у
- а
0,4 0,6
Рис. 104.
0,8
10
480
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
Подставляя (6.15), будем иметь:
(6.16)
После интегрирования получим следующую формулу для распределения
скоростей по сечению круглой трубы:
Отдельные значения этой функции по данным экспериментов Нику-радзе при
различных значениях числа Рейнольдса представлены на рис. 104 кружочками
и через них проведена пунктирная кривая. Как видно из рисунка, пунктирная
кривая отходит от сплошной кривой, отвечающей логарифмическому
распределению скоростей
(6.11) при х=0,36, лишь вблизи самой стенки.
Теперь перейдём к вопросу о сопротивлении трубы при турбулентном движении
жидкости. Для этого необходимо несколько подробнее рассмотреть вопрос о
трении вблизи стенки с учётом того, что вблизи самой стенки проявляется
влияние вязкости, тогда как в расчётах по распределению скоростей влияние
вязкости не учитывалось.
Если учесть влияние вязкости, то всё распределение скоростей по сечению
трубы следует разбить на две области: 1) ядро течения, в котором поток
является чисто турбулентным с распределением скоростей (6.11), и 2)
ламинарный подслой, в котором влияние вязкости является преобладающим.
Следовательно, путь перемешивания, или характерный масштаб I, можно
использовать только для ядра течения, и поэтому, например, формулу
линейной зависимости этого масштаба от расстояния от стенки можно
применять только к области ядра течения, т. е. начиная с расстояния,
равного толщине подслоя о. Таким образом, наименьшее значение
характерного масштаба будет представляться в виде
Если предположить, что толщина подслоя о зависит только от физических
величин t0, р и ц, то, используя метод размерностей, можно положить:
где функция
хо.
(6.18)
где а - безразмерная постоянная, не зависящая от числа Рейнольдса. Так
как внутри подслоя сила трения определяется по ги-
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ЦИЛИНДР. ТРУБЕ 451
потезе Ньютона в виде
du
~ V'dy
и при этом её можно считать постоянной, то на границе подслоя скорость
будет представляться в виде
U1 = '^o = i.v\ (6.19)
Если в равенстве (6.16) провести интегрирование в пределах от о до у и
учесть, что при у = 8 скорость U равна Uv то получим:
U = Ui+ | (r)*i---------г^-dy. (6.20)
' Mi)
Так как возрастание скорости в ядре течения происходит преимущественно на
сравнительно малых расстояниях от стенки, то под знаком интеграла (6.20)
можно положить:
/(*)">¦ /¦-*
1.
Тогда после интегрирования получим уточнённую формулу логарифмического
распределения скоростей с учётом влияния вязкости в.виде
U
= Y Jjn -- + ха - lnaj. (6.21)
Формула (6.21) совпадает с формулой (6.5), полученной на основании
обработки экспериментальных данных. Следовательно, постоянные, входящие в
(6.21), будут иметь следующие значения:
1 = 5,75, а-- = 5,5.
%\ge ' ' х
Отсюда получим:
х = 0,40, а = 11,5. (6.22)
Полагая в (6.21) _у = а и переходя к десятичным логарифмам, получим
следующее выражение для максимальной скорости турбулентного течения в
круглой цилиндрической трубе:
= ^5,75 5,5jv*. (6.23)
В § 5 главы IV коэффициент сопротивления цилиндрической трубы определялся
в виде отношения
др дх
Р"с
(6.24)
¦*ci>
31 Зак. 360. Н. А. Слёзкин
482 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [гл. XII
Подставляя в правую часть (6.24) значение перепада давления из
(6.13) и заменяя турбулентное трение через динамическую скорость,
получим коэффициент сопротивления трубы через отношение квадрата
динамической скорости к квадрату средней скорости в виде
К =2^-. (6.25)
^(!р
Если ввести коэффициент сопротивления, трубы через максимальную скорость,
т. е. положить
'^ = 2~- (6.26)
^ шах
и подставить отношение
- = l/"I cmax V 2
в (6.23), то получим зависимость коэффициента сопротивления трубы от
числа Рейнольдса
R",a* = ^ (6-27)
в виде
1 ^B' + A'lg Rmaxl^. (6.28)
У Y
Г рафик этой линейной зависимости от ^(RmaxV^) представлен
> Ф
Рис. 105.
на рис. 105. Данные экспериментальных измерений при различных значениях
