Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
получены выше только с помощью анализа размерностей и гипотезы о
подобии полей пульсаций. Самим же Карманом эти
результаты были получены с помощью уравнений движения жидкости без учёта
вязкости, представленных через функцию тока:
dWd№ дФд№ " 07Ч
ду дх дх ду ~ . (5'27')
Систему координат х и у выберем подвижной с началом в какой-либо точке,
переносимой со скоростью осреднённого течения U (0) в данной точке.
Относительная скорость осреднённого течения в окрестности подвижного
начала координат может быть тогда представлена в виде ряда Тэйлора
U - U (0) = U0y-\- -у U (,у -j- . .. (5.28)
Тогда функция тока результирующего движения жидкости в окрест-
ности начала равна
'F = ~2 UоУ "g" U оУ (х> у)' (5.29)
где^(х, у) - функция тока поля пульсаций в окрестности начала подвижной
системы координат. Подставляя выражение (5.29) в уравнение (5.27) и
ограничиваясь только множителями, содержащими координату у в первой
степени, получим уравнение для функции тока поля пульсаций
(^4да-йЩ-5^ = о. (5.30)
Перейдём теперь к безразмерным величинам, полагая
х = R, \
у = 1-1], J- (5.31)
^ = г,).
474
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
В безразмерных величинах уравнение (5.30) представится в виде
А, _и- Д"+" |"?) = (5.32)
Требование подобия полей пульсаций будет теперь сводиться к тому, чтобы
уравнение (5,32) для функции тока выполнялось бы в каждой точке, выбор
которой предопределяет собой выбор величин /У', U", Ли/, Это требование
подобия полей пульсаций будет выполнено с той степенью приближения, с
которой будет справедливым само уравнение (5.32), если размерные
коэффициенты этого уравнения будут пропорциональны друг другу, т, е,
0 /2 /4 '
Отсюда получаем:
UV } (5.33)
A~PU'0. |
Так как проекции вектора скорости пульсаций представляются в виде
, дб Ад/
а ~ду ~ТЩ'
' - - _ A.dJL
v •" дх~ I ds'
то эти проекции должны быть пропорциональны первой производной и величине
характерного линейного масштаба пульсаций, т. е.
u~lUo, ]
(5.34)
v о
Приведённые соотношения пропорциональности позволяют считать касательное
пульсационное напряжение пропорциональным произведению квадрата линейного
масштаба поля пульсаций на квадрат первой производной от скорости
осреднённого течения, т. е.
D "7 7 Л2 д/ д/ .2 ,,/з
Рху= -риг" =P7F^-• (5.35)
Таким образом, мы снова приходим к основным соотношениям теории подобия
полей пульсаций (5.25) и (5,26),
§ 6] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ЦИЛИНДР. ТРУБЕ 475
Л. Г. Лойцянский1) показал, что соотношения (5.35) и (5.26) могут быть
получены, если требование подобия полей пульсации заменить требованием
подобия распределения разностей скоростей осреднённого течения в слоях с
шириной /.
§ 6. Установившееся турбулентное движение жидкости в плоской и круглой
цилиндрической трубе
Как уже указывалось выше, наиболее полно экспериментально изучено
установившееся турбулентное движение несжимаемой жидкости в круглой
цилиндрической трубе. Именно для этого случая было получено большое
количество экспериментальных данных о распределении скоростей по сечению
трубы и о зависимости коэффициента сопротивления трубы от числа
Рейнольдса. Многочисленные экспериментальные данные, разнообразные по
своему характеру, удалось рационально обработать и привести в
определённую, связь с помощью привлечения теории подобия и рассмотренных
выше полуэмпириче-ских теорий турбулентности. В этом отношении
полуэмпирические теории турбулентности сыграли и продолжают играть
большую роль. Но при этом оказалось, что для рациональной обработки
экспериментальных данных и для получения чисто расчётным путём каких-либо
новых данных достаточно было использовать формулу Прандтля
(5.12) для турбулентного трения и формулу Кармана (5.26) для
линейного масштаба полей пульсаций; рассмотрение самих скоростей
пульсаций в этом случае не понадобилось. Результаты такой обработки
экспериментальных данных о турбулентном движении жидкости в трубах полнее
всего представлены в статье И. Никурадзе2), из которой мы заимствуем
приведённые ниже графики.
Прежде всего были обработаны экспериментальные данные о распределении
скоростей вблизи неподвижной стенки трубы. При этой обработке была
использована гипотеза Прандтля о том, что скорость вблизи стенки зависит
прежде всего от значений физических постоянных, к которым относятся,
помимо коэффициента вязкости р, плотности р, ещё касательное напряжение
на самой стенке т0. Из последних двух величин можно составить выражение
для динамической скорости
v* = ]/~^ . (6.1)
Вводим теперь в рассмотрение безразмерную скорость в виде отношения
скорости осреднённого движения U к динамической скорости, т. е.
1) Лойцянский Л. Г., Прикл. матем. и мех., т. II, вып. 2, 1935.
2) Nikuradse I., Forschungshclt 356 (Beilage zu "Forsch. a. d. Oeb. des
Ingen. Wesens"), 1932 г., русский перев. в сборнике "Проблемы
турбулентности", ОНТИ, 1936.
476 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XII
Отношение кинематического коэффициента вязкости к динамической скорости
