Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
в своих правых частях. Правые части этих уравнений будут совпадать только
тогда, когда среднее значение произведения пути перемешивания на
поперечную составляющую вектора скорости пульсации не будет зависеть от
расстояния^. В своей статье Тэйлор указывает на то, что различие
указанных теорий должно обнаруживаться при сравнении распределения
скоростей осреднённого течения и температуры позади нагретого
цилиндрического тела. По теории Прандтля распределение скоростей и
температур должно быть одинаковым, а по теории Тэйлора распределение
скоростей не должно совпадать с распределением температур. Приведённые в
работе экспериментальные данные подтверждают это различие распределения
скоростей и температур в потоке позади нагретого тела. Однако при
обтекании плоской нагретой пластинки распределение температур совпадает с
распределением скоростей.
В заключение Тэйлор указывает на то, что теория турбулентности на основе
переноса вихрей согласуется с теорией турбулентности на основе переноса
количества движения для того случая, когда поле скоростей пульсаций
является плоским и перпендикулярным к вектору скорости осреднённого
течения (составляющая, параллельная скорости основного потока,
отсутствует). Такой именно случай будет иметь место для течения вблизи
неподвижных стенок. Если же осреднённое течение и пульсационное движение
будут происходить в одной и той же плоскости, то обе теории будут
приводить к разным результатам.
Общим в рассмотренных двух теориях турбулентности является то, что в
исходных рассуждениях прослеживается движение фиксированной частицы до её
перемешивания с другими, т. е. используется подход к движению жидкости с
точки зрения Лагранжа. В теории турбулентности, предложенной Карманомх),
с начала до конца используется подход к изучению движения жидкости с
точки зрения Эйлера, т. е. с точки зрения рассмотрения полей скоростей и
давления.
Область, занятая жидкостью в турбулентном движении, рассматривается, с
одной стороны, как единое поле скоростей осреднённого движения жидкости,
а, с другой стороны, как множество полей пульсационного движения жидкости
в окрестности каждой геометрической точки. Затем принимаются следующие
две гипотезы: 1) структу-
ра полей пульсаций и его масштабы не зависят от вязкости, за
!) Th. Von Karman, Nachrichten d. Oes. d. Wissen. zu Gottingen, 1930,
русский перев. в сборнике "Проблемы турбулентности", ОНТИ, 1936.
472
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
исключением тех полей, которые относятся к точкам, расположенным вблизи
стенок; 2) по своей структуре все поля пульсаций подобны между собой и
отличаются только масштабами времени и расстояний.
С качественной стороны указанные гипотезы имеют общий характер, однако
количественное претворение эти гипотезы пока получили лишь для частного
случая прямолинейного осреднённого течения при выполнении предпосылок
(5.1), (5.2), (5.3) и (5.4), т. е. для того случая, когда все поля
пульсаций являются плоско-параллельными. Кроме того, при выполнении
вычислительных операций делается предположение, что масштабы времени и
расстояний в каждом поле пульсаций могут быть поставлены в зависимость
только от первых двух производных скорости осреднённого течения по
координате у, т. е.
сШ dHJ dy ' dyZ '
Поскольку размерность первой производной есть
[dy\ t '
то в качестве масштаба времени для поля пульсаций можно выбрать величину,
пропорциональную обратному значению первой производной по у от средней
скорости, т. е.
1 (5.24)
dU
dy
В таком случае на основании размерностей скоростей пульсаций и и г/ и
высказанной выше гипотезы подобия полей пульсаций можно положить:
1 ]dJL
Т dy'
I .dU
' Т dy '
(5.25)
Таким образом, выбором масштаба времени в виде (5.24) гипотеза о подобии
полей пульсаций приводит к тем же результатам, к которым приводит теория
Прандтля о пути перемешивания. В то же время гипотеза о подобии позволяет
получить и совершенно новый результат, непосредственно не получающийся из
теории пути перемешивания. Дело в том, что предположение о зависимости
поля пульсаций только от первых двух производных позволяет вполне
определённым образом выбрать масштаб расстояний для поля пульсаций.
Отношение первой производной ко второй имеет размерность длины, а поэтому
в качестве масштаба линейных размеров пульсаций может
ПОЛУЭМЛИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
473
быть выбрана величина, пропорциональная отношению первой производной ко
второй производной от скорости осреднённого течения по координате у, т.
е.
d?
l = *WU' (5.26)
Ну*
где 7. - числовой коэффициент, определяемый из условия согласования
результатов расчёта с результатами опытов. Таким образом, теория Кармана
позволяет определять длину пути перемешивания, входящую в теорию
Прандтля, через дифференциальные характеристики осреднённого течения, а
не задавать его в виде функции от расстояния от стенки.
Основные результаты (5.25) и (5.26) теории турбулентности Кармана были
