Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
значения.
Заметим, что выражение (4.23) отличается от выражения (2.19) главы XI
только множителем р и наличием знака осреднения над произведениями
проекций вектора скорости пульсаций. Следовательно, поле возмущений,
введённое нами в главе XI при исследовании устойчивости ламинарных
течений, совпадает в некотором отношении с полем пульсации, которое
вводится при изучении турбулентного движения жидкости.
Система дифференциальных уравнений осреднённого движения несжимаемой
жидкости (3.15) является незамкнутой. Отдельные попытки замкнуть эту
систему уравнений в общем случае ещё не дали таких результатов, которые
бы позволяли решать отдельные краевые
R
х
(4.28)
RkP > 258.
(4.29)
(RkP)3k - 425.
(4.30)
§ 5. Полуэмпирические теории турбулентности
466
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
задачи и сравнивать результаты расчёта с результатами измерений. Поэтому
развитие изучения турбулентного движения жидкости шло не по линии
использования уравнений движения, а по линии использования лишь самих
характеристик турбулентности и по линии установления связи этих
характеристик турбулентности со скоростью осреднённого течения. Именно по
этому пути и развивались так называемые полуэмпирическ'ие теории
турбулентности.
Получившие распространение полуэмпирические теории турбулентности были
развиты вначале лишь для случая, когда осреднённое движение несжимаемой
жидкости является: 1) прямолинейно-
параллельным, т. е.
UX = U, Uy = 0, ив = 0, (5.1)
2) плоским, т. е.
^Г = 0, (5.2)
и 3) установившимся, т. е.
dUM
dt
О, Ux=U{y), (5.3)
причём поле пульсаций при этом предполагается плоско-параллельным, т. е.
"' = 0, ^ = 0, ?_0. (5.4)
Тензор пульсационных напряжений будет иметь в этом случае три компоненты:
Рхх = - ри'и', pxy = -pu'v', Pyy = -?v'v'. (5.5)
Если пренебречь действием массовых сил, то дифференциальные уравнения
осреднённого движения (3.15) при перечисленных выше предположениях
принимают вид
др d%U . 6РХЯ. дРх^
дх ^ ду% "г- дх "г- ду
др дРух дРуу
ду дх ' ду '
(5.6)
Основными характеристиками турбулентности в рассматриваемом нами случае
принято считать: 1) две проекции вектора скорости пульсации и' и v', 2)
касательное пульсационное напряжение
р =. 1 ссу
-Г~, оч г 1 (dv' диг\
-рuv и 3) пульсацию вектора вихря <п -Ду/'
Для установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью
осреднённого движения U были предложены: 1) теория
§ 5]
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
467
Прандтля, или теория пути перемешивания, 2) теория Тэйлора и 3) теория
Кармана, или теория подобия полей пульсаций.
В основе теории Прандтля *) лежит следующий ход рассуждений, аналогичный
ходу рассуждений о свободной длине пробега молекул в кинетической теории
газов. При турбулентном движении каждая элементарная масса жидкости
сохраняет все свои качества, в том числе и вектор количества движения,
только до тех пор, пока она не сместится в направлении, поперечном к
скорости осреднённого течения, на предельное расстояние I. Если же
смещение в поперечном направлении этой массы превзойдёт это предельное
расстояние I, то произойдёт перемешивание данной массы с окружающей
массой в новом положении, в результате которого изменится и вектор
количества движения этой массы. Масса жидкости, переносимая в единицу
времени и через единицу площади пульсационным движением в поперечном
направлении к скорости осреднённого течения, будет представляться в виде
произведения плотности р на модуль проекции вектора скорости пульсации
\v'\. Эта масса р|г>'| переходит из положения, в котором скорость
осреднённого течения представляется в виде U(у), в новое положение, для
которого скорость осреднённого потока будет равна
где I' - частное значение пути перемешивания. Первая гипотеза в теории
Прандтля заключается в том, что составляющая вектора скорости пульсации в
направлении скорости основного потока и' считается пропорциональной
разности скоростей осреднённого течения в точке U(y-\-l) и в той точке,
из которой рассматриваемая масса была смещена пульсационным движением
U(у), т. е.
При этой гипотезе количество движения, перенесённое пульсационным
движением в поперечном направлении к скорости основного потока, будет
представляться в виде
где (3 - числовой коэффициент. Равенство (5.8) представляет собой
простейшее выражение закона турбулентного переноса количества движения.
Аналогичными рассуждениями можно получить выражение для турбулентного
переноса теплоты
(5.8)
(5.9)
1) Prandtl L., Z. f. angew. Math. u. Mech., m. 5, 1925.
468
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
где 0 - температура, и для турбулентного переноса количества взвешенных в
жидкости частиц получим:
где п-концентрация взвешенных частиц. Во всех этих выражениях множители
р, v' и V могут меняться от точки к точке.
Чтобы равенство (5.8) сделать более определённым, принимается вторая
гипотеза, согласно которой вторая составляющая вектора скорости пульсации
v' считается пропорциональной первой составляющей, т. е.
