Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
пульсационных напряжений во всём объёме оказалась положительной, т. е.
При выполнении необходимого условия (4.24) возрастание осреднённой
кинетической энергии пульсационного движения внутри неподвижной
поверхности может быть тогда и только тогда, когда отношение полной
энергии рассеяния от пульсационных напряжений к полной энергии рассеяния
от вязких напряжений будет больше единицы, т. е.
Если обратить внимание на правые части равенств (4.22) и (4.23), то можно
заметить, что 1) изменение знака вектора скорости пульсаций на обратный,
т. е. замена и', v' и w' на -и', -г/ и -w', не изменяет величины
отношения энергий рассеяния (4.25) и
2) умножение вектора скорости пульсаций во всех точках на постоянный
множитель также не изменяет отношения (4.25). Это значит, что знак к
нельзя изменить ни изменением знака вектора скорости пульсаций во всех
точках внутри объёма, ни умножением вектора скорости пульсаций во всех
точках внутри объёма на одно и то же число, и если при данном
распределении вектора скорости пульсаций в рассматриваемом объёме
осреднённая кинетическая энергия пульсационного движения убывала, то
увеличением величины вектора скорости пульсаций во всех точках в одно и
то же число раз нельзя получить вместо убывания возрастание осреднённой
кинетической энергии пульсационного движения жидкости. Совершенно иным
образом сказывается на изменении отношения к равномерное изменение
вектора скорости осреднённого движения жидкости в конечном объёме с
неподвижной поверхностью. Если при данном распределении вектора скорости
пульсации и вектора скорости осреднённого движения в объёме будет
происходить уменьшение осреднённой энергии пульсационного движения
жидкости, то
///¦*">¦
(4.24)
(4.25)
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
с помощью увеличения вектора скорости осреднённого движения во всех
точках на одно и то же число можно добиться выполнения неравенства (4.25)
и, следовательно, вместо убывания получить возрастание осреднённой
энергии пульсационного движения жидкости в рассматриваемом объёме.
Последнее обстоятельство и служит доказательством того положения, что
существует критическое значение скорости осреднённого движения жидкости в
конечном объёме с неподвижной поверхностью в том смысле, что возрастание
осреднённой кинетической энергии пульсационного движения в этом объёме
может происходить только тогда, когда вектор скорости осреднённого
движения будет превышать указанное критическое значение.
Однако существование критического значения только для скорости
осреднённого движения жидкости ещё не означает, что пульса-ционное
движение совершенно не сказывается на самой возможности перехода от
убывания осреднённой кинетической энергии пульсационного движения к её
возрастанию. Дело в том, что если распределение вектора скорости
осреднённого движения жидкости в объёме с неподвижной поверхностью
оставить неизменным, а распределение вектора скорости пульсаций в том же
объёме изменять, то на основании вида правой части (4.23) можно
заключить, что для одной группы распределений вектора скорости пульсаций
неравенство (4.24) может быть выполнено, а для другой - оно не может быть
выполнено. Таким образом, существование критической скорости осреднённого
движения жидкости в указанном выше смысле возможно только при тех
распределениях вектора скорости пульсаций, для которых будет выполнено
неравенство (4.24).
Если ввести характерную скорость U0 и характерный размер L, то
размерности энергий рассеяния Еп и 6 из (4.22) и (4.23) будут:
На основании сказанного выше при выполнении неравенства (4.24)
критическая скорость осреднённого движения жидкости должна определяться
из следующего равенства:
(4.27)
Вводя в рассмотрение безразмерные энергии рассеяния Е" и 6°,
ПОЛУ ЭМ ПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУ Р ЬУ лплтлииiп
число Рейнольдса
r=?
и используя (4.26), получим равенство, определяющее критическое значение
числа Рейнольдса:
Полученное равенство (4.28) было использовано в цитированной выше работе
Рейнольдса для исследования устойчивости ламинарного течения между
параллельными стенками с параболическим распределением скоростей по
сечению. Предполагая проекции вектора скорости пульсаций периодическими
функциями от координаты, ось которой параллельна скорости осреднённого
течения, и принимая некоторые дополнительные допущения при отыскании
минимума правой части (4.28), Рейнольдс установил неравенство
За характерный размер в рассматриваемом случае была взята половина
расстояния между стенками. Рейнольдс указывает на то, что гидравлический
радиус плоской трубы вдвое больше радиуса круглой трубы, и поэтому
критическое значение рассматриваемого параметра должно быть вдвое меньше
для случая между параллельными стенками, т. е. иметь порядок
Таким образом, найденное расчётным путём значение критического числа
Рейнольдса для ламинарного движения между неподвижными параллельными
стенками лишь на 40°/0 меньше предполагаемого экспериментального
