Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
две рассматриваемые точки О и Ж, будет представлять собой относительную
скорость сближения или удаления друг от друга элементарных объёмов
жидкости, а проекции разности (9.4) на направления, перпендикулярные к
указанному отрезку, будут представлять линейные относительные скорости от
вращения и сдвига одного элемента относительно другого. И, наконец,
последнее преимущество исходной характеристики турбулентности движения
(9.4) перед характеристикой (9.5) заключается в том, что она учитывает
влияние лишь тех вихрей, линейный масштаб которых меньше характерного
масштаба фиксированной малой области, поэтому она и служит
характеристикой локальной турбулентности. Вихри, масштабы которых больше
масштаба фиксированной области, будут вызывать лишь поступательное
движение всей малой области, т. е. индуцировать примерно одинаковые
скорости в точках О и Ж, и по этой причине эти скорости будут выпадать
при определении разности (9.4).
В качестве первых статистических характеристик локальной турбулентности
принимаются осреднённые по времени значения произведений проекций
разности (9.4) на оси координат инерциальной системы отсчёта (х1( х2,
х3). Совокупность таких статистических характеристик составляет
структурный тензор второго ранга локальной турбулентности со следующими
составляющими:
Оц = wiwi == ^(Ж) - vt (О)] [vj(Ж) - vj(О)], (9.6)
где т>4(Ж) и Vj(0) представляют собой проекции векторов V(M) и V(O) на
указанные оси координат. В качестве вторых статистических характеристик
локальной турбулентности принимаются величины
Dyk = К (М) - Vi (О)] (Ж) - vj (О)] [vk (Ж) - vk (0)1,
(9.7)
33 Зак. 360. Н. А. СлёзкИн
506
Турбулентное д&ижёниё
[гл. xit
представляющие собой осреднение по времени значения произведений трёх
проекций разности (9.4) на указанные оси координат.
Если предположить, что вектор скорости действительного движения
представляет собой непрерывную функцию от пространственных координат, то
в малой окрестности фиксированной точки О вектор относительной скорости
(9.4) будет представляться в виде
v (*1 + &1> x2~h^2' *3 + ^> О V (Х1у х2> Х3< 0 = к = 3 ft = 3 ш = 3
fc=i ft=i "1=1
Т. e. исходная характеристика движения жидкости будет зависеть только от
времени и относительных координат, и в этом смысле движение может
считаться кинематически однородным. При этом предположении (9.8) все
статистические характеристики (9.6), (9.7) и др. также будут зависеть
только от времени и относительных
координат точки М по отношению к О, и поэтому в этом
смысле
движение может считаться и статистически однородным в той малой
окрестности, которая целиком расположена внутри фиксированной малой
области. В частности, для составляющих структурного тензора второго ранга
(9.6) будем иметь выражение
к = 3 "1 = 3 -г----з-
к= 1 9/1 = 1
к = 3 т= 3 1 = 3
ft = 1 ш = 1 7 = 1
Определение локально однородной турбулентности можно дать и независимо от
требования непрерывности вектора скорости действительного движения и
независимо от требования малости окрестности точки О. А именно
турбулентное движение называется локально однородным, если все
статистические характеристики движения будут функциями только от времени
и разностей абсолютных координат двух точек, причём эти функции и их
коэффициенты не будут зависеть от расположения фиксированной точки внутри
указанной выше малой области. При таком определении составляющие
структурного тензора второго ранга должны рассматриваться прежде всего
как функции относительных координат точки М по отношению к точке О. Что
же касается зависимости статистических характеристик турбулентности от
времени, то такая зависимость, вообще говоря, может допускаться при
скользящем интервале времени осреднения.
Из множества локально однородных турбулентных движений можно выделить
класс наиболее простейших турбулентных движе-
§ 9] СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОЮ MdUirunnuiu uu.u.m
ний, удовлетворяющих требованию изотропности. Предварительно сошлёмся на
некоторые опытные данные. Измерения составляющих вектора скорости ветра в
природных условиях показывают, что величины осреднённых по времени
квадратов горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей различны,
но это различие уменьшается по мере удаления от поверхности земли. Таким
образом, происходит выравнивание осреднённых по времени квадратов
проекций вектора скорости пульсаций. Такое же выравнивание квадратов
проекций вектора скорости пульсаций было обнаружено с помощью
ультрамикроскопа в круглой трубе по мере приближения к оси трубы.
Наконец, в аэродинамической трубе, где турбулентность регулируется
решёткой, устанавливается такое турбулентное движение, при котором
осреднённые по времени величины квадратов трёх проекций вектора скорости
пульсации равны между собой. Это свойство рассматриваемых видов
турбулентных движений и названо изотропностью. Таким образом,
турбулентное движение жидкости считается изотропным, если значение
осреднённого по времени квадрата проекции вектора скорости пульсации не
