Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
зависит от того направления, на которое проектируется вектор скорости
пульсаций. Возьмём в данной точке произвольное направление с
направляющими косинусами
cos (Д, хJ, cos (Д, х2), cos (Д, х.Л).
Тогда проекция вектора скорости пульсации на это направление будет равна
Va ~v[ cos(A, xj + v'i cos(A, x.2)-\-v'/cos (Д, xs). (9.10)
На основании данного выше определения изотропности турбулентного движения
мы должны иметь:
(v'a f - (v[)2 = (v2f = (v'3)2. (9.11)
Если обе части (9.10) возвести в квадрат и провести осреднение по
времени, то для выполнения условия изотропности (9.11) необходимо, чтобы
осреднённые по времени значения произведений проекций вектора скорости
пульсаций на две различные оси были бы равны нулю, т. е.
vWj = 0 (* ФЛ- (9.12)
Условия (9.12) означают, во-первых, то, что в изотропном турбулентном
движении жидкости нет статистической связи (корреляции) между проекциями
вектора скорости пульсаций на различные оси и, во-вторых, то, что тензор
турбулентных напряжений для изотропного движения жидкости будет состоять
только из одного нормального напряжения, величина которого к тому же не
зависит от
33*
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
ориентации площадки, на которой определяется турбулентное напряжение.
Данное выше определение изотропной турбулентности движения касалось
только величин квадратов самих проекций вектора скорости пульсации. Более
развёрнутое определение изотропности турбулентного движения включает в
себя и требования, накладываемые на производные от проекции вектора
пульсаций, а именно: турбулентное движение жидкости называется
изотропным, если осреднённые значения квадратов проекций вектора скорости
пульсаций и их первых производных по координатам выбранных осей остаются
неизменными при повороте этих осей и при изменении их ориентации. На
основании этого требования к производным от проекций вектора скорости
пульсации осреднённые значения квадратов первых производных от проекций
вектора скорости пульсаций, удовлетворяющих круговой замене осей
координат, будут равны между собой, т. е. будут иметь место следующие
равенства:
f О
/ОУЛ\~
\дх<
dv5 дх*
/ди.,-
\дх-
й"да (ди^\2 /бил2 /ди[\2 /дщ\2
(-\дх2
\дхя
\дх.
\дх.
с
дх.
= а*-
(9.13)
Осреднённые значения произведений производных, удовлетворяющих также
условию круговой замены осей координат, будут равны между собой, а если
произведения не удовлетворяют условию круговой замены осей и меняют знак
при замене, например хг через -xt, то их осреднённые по времени значения
должны равняться нулю. На основании этих требований будем иметь:
ди[ диг дх2 дхг'
ди'г dv'2 дхг дх2"
ди'2 du's 'дх3дх2
ди2 dv2 ' дх., дх" '
du's ди[ 'дхгдх,
ди'% ди[ ' дх3 дх1
¦*8*
_______ о ^
dxtdxt ' дх1дх1'
ди[ dv'a
ди,ди,
дх2 дх..
О, ...
(9.14)
Связь между введёнными величинами av а2, аь и ai можно устано" вить,
если, во-первых, использовать уравнение несжимаемости
ди[ dv'2 дхг дх2
+
дх3
0.
Если возвести в квадрат левую часть этого уравнения, произвести
осреднение по времени и учесть приведённые ниже равенства, то
СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ИЗОТРОПНОГО ПОТОКА
509
получим:
a1-\-2ai = 0. (9.15)
Второе соотношение между этими величинами мы получим, если обратимся к
преобразованиям поворота осей координат на угол в 45°. Например, при
повороте осей координат вокруг оси z на 45° будем иметь формулы
преобразования в виде
Y 2х[ = х1-{-х2, yr2"i =
^/~ 2x2 - хх I7" 2 и2 =: - Vx ~{" v*2>
dv[
Первая производная -з- при этом преобразовании представится в виде
О Х-у
dv[ j (ди± ди2 du'i ди2
дх1 2 ( дх' . дх' dx'S^ дх1
и поэтому
_/<Ц\2 _ f/<4 \2 , fdJh\2 , _ 9<Ч К _ 0du'i ди2 \
1 \дхх) 4 v-*i/ дх^дх^ дх'2дх'2]
Объединяя в этом равенстве члены, равные по условиям изотропии, получим:
ах = ~2 (ai а-2 + аз + ах)>
или
а1 а2------а3 ax = Q- (9.16)
Третье соотношение между величинами av а2, а.А и ai можно получить для
случая отсутствия осреднённого течения жидкости и в предположении, что
для чисто пульсационного движения вязкой жидкости сохраняют свою силу
полные уравнения движения вязкой жидкости, из которых при отсутствии
массовых сил можно получить следующее выражение для оператора Лапласа от
давления:
Дd !^v'x\ . /дгъД2 . /дг'-Л2 /dv'9dv', dvidvl dv'.,dvi\
= +Gja) + Gj3) +2(а71а72+аг2а7з+а73аУ1)-(9Л7)
Если провести осреднение по времени равенства (9.17) и учесть
равенства (9.13) и (9.14), то получим:
- ^? = 3fll-l_6a3. (9.18)
Обычно в качестве гипотезы принимается, что в однородном поле
510
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. XII
пульсаций осреднённое значение оператора Лапласа от давления равно нулю,
т. е.
Д^ = 0. (9.19)
При этой гипотезе мы получим третье соотношение
а^ -|- = 0. (9.20)
На основании трёх соотношений (9.15), (9.16) и (9.20) получим соотношение
между осреднёнными значениями квадратов производных от проекций скоростей
и отличных от нуля произведений этих производных
а1 = = - 2а8 = 2а*. (9.21)
Используя это соотношение, можно найти осреднённое значение энергии
