Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
~лг = -щ- sin ,J тпг -2иае л - k "г -яг) , (4-14)
sm 0 дд \ <00 / и 1 - cos 0О \ (00 /о
которое необходимо решить при следующих граничных условиях:
при " = 0 vB = U0>)
при 0 = 0О г>д=0. J
К решению уравнения (4.14) применяем метод преобразования Лапласа.
Полагая
будем иметь:
- dvjt
e-*-s*c& = -U0 + v',
о
e-pi-2; 1
J--
о
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (4.14) и к первому •
граничному условию (4.15), получим следующую задачу для изображения
радиальной скорости:
1 d ( . L dv*\ р * ii(i 2 \ р . sin Оо fdv*\ ^
iifTelsin ж) ~kv - - °\ - 1 -со50о(ж)о'}
при 0 = 0О V* - 0. J
(4.17)
378 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ жидкости [гл. X
Из двух независимых решений однородного уравнения (4.17) выбираем именно
то решение, которое будет ограниченным на оси диффузора, т. е. при 0 = 0.
Обозначая это решение через AJ(b) и присоединяя к нему частное решение
неоднородного уравнения (4.17), получим:
V = + (4.18)
Отсюда будем иметь:
dv* . dJ
Удовлетворяя граничному условию прилипания, получим следующее выражение
для постоянной:
U0p 1
А =
Р + 2 п
Таким образом, решение задачи (4.17) для изображения радиальной скорости
будет представляться в виде
.. U,p J (0О) - J (0)
Р + 2 J (в0) - -j ctg J' (бо)
До сих пор мы никаких ограничений на угол раствора
диффузора
не накладывали. А теперь допустим, что угол раствора
диффузора
настолько мал, что можно приближённо положить:
.ctg 0^1. (4.20)
При такой замене дифференциальное уравнение (4.17) без правой части будет
представляться в виде
d4if j 1 dv* р_ * "
~db~Tv '
и поэтому ограниченное решение этого уравнения будет представлять собой
функцию Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, т. е.
У(О) = /о(0|/' ?). (4.21)
Если к тому же воспользоваться рекуррентной формулой ^/'0(х) = 10(х) -
12(х), то решение задачи для изображения (4.19) при малых углах рас-
§ 4] РАЗВИТИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ
твора конического диффузора будет представляться в виде
/.(%/ !)-/.("/ ?
v
UoP Р 4 2
379
(4.22)
Сопоставляя равенство (4.22) с решением (2.15) для изображения осевой
скорости частиц жидкости в круглой цилиндрической трубе, мы замечаем, что
различие состоит в наличии дополнительного множителя
Р
Р+ 2
и в том, что под знаком аргумента функции Бесселя вместо множителей a w г
находятся множители 60 и 0.
Раскладывая правую часть на простые дроби, будем иметь:
v
~7
Ft (Р)
0>)
ОО
Чтт2 + 24т4 (4'23)
т = 1
где Рт связаны с корнями уравнения
ш = о
соотношением
а коэффициенты разложения (4.23) будут представляться в виде
л я/'!)-¦'. ("У 1
(4.24)
(4.25)
D = -
Л
'2k'!
yi:
j^O (т щ ) 70 Тш j j
(4.26)
Используя разложение (4.23) и выражения (4.26), получим выражение для
оригинала радиальной скорости
оо
4-
7o(Ym)
-к -г , 9о
(4.27)
380
РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
[гл. X
При замене через R на основании (4.13) радиальная скорость будет
представляться в виде
и0
/""V.-'•("/ т)I) . \r) / /-ON "Г
СО
т = 1.
/о(б0 Ти>) Jo ('[т)
(4.28)
Подставляя (4.12) и (4.28) в (4.11) и проводя интегрирование по
переменному R, будем иметь:
2(J-0?g
dR
R*
0o Ri
/!
o(0o|/
3o j/"
8fxU0
ТшЛ> (Tw)
/= A>
з r 0 \ /? j
i 4
0otf2
V2k
"J=1 Jo(bn)(-j-
i A I8"/j) _
(f)
- 12
"!=4(y"o(^ + yL)(^°--4)
На основании рекуррентных формул для бесселевых функций
/0 (X) = -J1(x) = - Z и0 (х) + у2 (*)]
мы можем в правой части (4.29) произвести следующие замены: f> (""/!) ,
¦(f)
(4.29)
-[/¦г*7"
/2 (, 00 "|/~
уо (Yw) /о (Yik)
>./1)'
(4.30)
§ 4] развитие движения жидкости в коническом Диффузоре 381
Используя (4.29) и (4.30), получим из (4.3) следующее выражение для
давления:
~~2'
-1Г+Ро° + Тр0оЫ)
Ro\3
Jo (во
'ojA
• m
" 6 2 Tga- ofl2
,M=1(ir+Y")(ir-Y*)
№ b°
(4.31)
Так как при возрастании R до бесконечности скорость vr на основании
(4.28) будет стремиться к нулю, то р", будет представлять собой давление
на бесконечности.
Полагая в (4.31) R=R0 и р = р0, будем иметь для разности давлений в
начальном сечении диффузора и на бесконечности следующее равенство:
put з
Vo(0o}A
J,
(*/т) -(?+Л)(?-й).
. (4.32)
Найдём конечное выражение для суммы, входящей в правую часть (4.32). Так
как
2 1 Y 9 1
(Ч , 2\/20О 2\ 2 ° , 2
f"") k Y,,i k ^ ,H
то сумма (4.32) равна
OO 9 oo OO
V 1m 2 VT 1- 1 VI 1
1
3 05
1
w = l
,20o
X"Y
(4.33)
m = l _±_L
k ^Y>
На основании разложения *) на простые дроби производной от логарифма
функции
<р(х:) = 2*х~Ч2(х) и использования рекуррентных формул будем иметь:
Ч>/ (х)
4>(jr)
V 2.x
71 2 2
X Ja (х)
2 J2 (х) •
(4.34)
*) Кузьмин Р. О., Бессёлевы функции, ОНТИ, 1935, стр. 111.
382 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ жидкости
Подставляя в (4.34) последовательно
х = %уГ
[гл. X
V к '
получим:
1
Л 20о ,
""=i ____"____"
k
1 К ,
- 4 А2
Sir
"1=1________2 I v'~
/г
1 2k i 1 7°(ут) = Т ,+t^
(4.35)
Следовательно, сумма (4.38) будет иметь следующее значение:
е 1 , 1 ¦'•("•/
•т = 3
\/г+Т"7\/г
)0|/"
, ''Ш
12 '°ш'
(4.36)
