Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
определения постоянных следующие уравнения:
А-В = О,
'+B.-VI •+*) = 0.
Решая эти уравнения, будем иметь:
U 1
А - В
V %н
2 chi/ <-Л -4- 1/
Подставляя значения постоянных в (1.17) и (1.16), найдём:
hUy ?sh Л/
Ш*=7?7Т^7Т>' (1Л8)
ch У ^y~ch\r^h
u* - Uh - - *-=-----V.- . (1.19)
7shl/ fA-AchV^f л
С помощью обращения преобразования Лапласа (1.19) получим следующее
выражение для оригинала основной скорости течения:
. °+/ ch l/"- ch 1f -j- h .
"<*•*> = ? J - rj- fr Гр 7 (1'20)
V 7shV T'¦-',chV j4
(7- tOO
Чтобы определить характер течения вязкой жидкости в плоской трубе для
весьма далёких расстояний от входа, достаточно найти выражение
изображения основной скорости при малых значениях параметра
преобразования. Раскладывая каждое слагаемое в числителе и знаменателе
(1.19) и ограничиваясь слагаемыми не выше второй степени от аргумента,
найдём:
1 . ± Д?_1 рНг
2 k 2* _ 3 уач
Таким образом, на бесконечно большом удалении от входа в плоскую трубу
профиль распределения основной скорости по сечению будет параболическим
и*, ли." = !и (>-&)•
§ i] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАЛЛЁЛЬН. СТЕНКАМИ 355
Особенности подинтегрального выражения (1.20) совпадают с корнями
уравнения
th]/" %h = h}/r-?. (1.22)
Если обозначить корни уравнения
tg X = X
(1.23)
через чт, то корни уравнения (1.22) будут представляться в виде
Рт ¦
А
Л2 •
(1.24)
Полагая у = 0 и раскладывая для этого случая подинтегральное выражение
(1.20) на простые дроби, получим:
W).
^2 (Р)'
-сЬ/ж
h
P[Y !sh У%н~НсЬУ%н]
=-- - --4- V.. Cm , (1.25)
n Л P 1 AJp-Pm' K '
m -1
где коэффициенты c0 и cm определяются с помощью следующих равенств:
1-ch/*Н
У 7аЬУ Jh~hchy Тн~
I (^ГГ- О'
_з_
2 Л
: (Pm) _ 2
^а(Л") ^cosy
(1.26)
Подставляя разложение (1.25) в (1.20) и используя формулу
о+гсо
_L Г
2 т:/ J
2 71/ J
0 - 400
получим следующее выражение для основной скорости частиц жидкости на
средней линии плоской трубы:
".= 1
(1.27)
Составляя отношение разности предельной скорости частиц жидкости на
средней линии на бесконечном удалении от входа и скорости
356 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ [гЛ. X
частиц на конечном удалении L от входа к предельной скорости, найдём:
?/-(")"=О со -к^ь
(1'28)
и ш = 1
Задавая значение левой части (1.28) и решая полученное уравнение
относительно длины L, можно получить приближённое значение длины
начального участка плоской трубы, на протяжении которого максимальное
значение скорости частиц будет отличаться от своего предельного значения
на заданную величину. Полагая, например, значение левой части (1.28)
равным
3
~2 U (и)у-о
5--------- = 0,01 (1.29)
и сохраняя в правой части (1.28) лишь первое слагаемое,
получим
следующее выражение для длины начального участка плоской трубы:
где R представляет собой число Рейнольдса, определяемое для
плоской трубы равенством
R = ~, (1.31)
a - наименьший, отличный от нуля корень уравнения (1.23),
равный г)
Tl = 4,493.
Подставляя числовое значение корня ^ в (1.30), получим следующую
приближённую формулу для длины начального участка плоской трубы:
L = 0,18/zR. (1.32)
Таким образом, длина начального участка пропорциональна числу Рейнольдса
и расстоянию между стенками.
!) Я н к е Е. и Эмде Ф., Таблицы функций, Гостехиздат, 1948, стр. 47.
§ 2) РАЗВИТИЕ ДВИЖЕНИЯ В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
357
§ 2. Развитие ламинарного движения в круглой цилиндрической трубе
Пусть круглая цилиндрическая труба радиуса а простирается до
бесконечности только в одну сторону - в сторону положительного
направления оси х (рис. 91). Начало оси х выберем в центре начального
сечения трубы.
Для определения движения жидкости на начальном участке трубы применим
систему приближённых ниям (1.1):
ди 1 др
дх р дх
дг
U-
уравнений, аналогичных уравне-
• у д ( ди\
'г дг V дг ) '
О,
ди , 1 д , .
+ 7 д7^У
дх
0.
(2.1)
Множитель U и здесь представляет собой среднюю скорость по сечению трубы.
Условия прилипания жидкости к стенкам и условие постоянства расхода через
каждое
сечение трубы будет представляться равенствами
при г - а и х > О, и - 0, vr - 0, (2.2)
-и -
2 J иг dr = a2U.
(2.3)
Рис. 91.
Будем предполагать, что основная скорость и по начальному сечению
распределена равномерно, т. е.
при х - О u - U. (2.4)
Таким образом, задача определения движения вязкой жидкости на начальном
участке круглой трубы сводится к решению системы уравнений при граничных
условиях (2.2), (2.3) и (2.4).
Первое и третье уравнения (2.1) умножим на г dr и проинтегрируем по
переменному г в пределах от 0 до а и от 0 до г. Учитывая при этом второе
равенство (2.1), получим:
358
РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
[гл. X
Равенство (2.6) может служить для определения значения поперечной
скорости vr, после того как будет определена основная скорость а. В силу
условия (2.3) поперечная скорость на стенке действительно будет
обращаться в нуль. Из равенства (2.5) при учёте (2.3) получим следующее
выражение для перепада давления:
