Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 120

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 170 >> Следующая

воспроизводим без изменения (рис. 95).
Пусть мы имеем конический диффузор с углом раствора 20о (рис. 96).
Предполагая движение вязкой несжимаемой жидкости
дем иметь из (6.10) и (6.11) главы 11 следующие дифференциальные
уравнения в сферических координатах:
Как и в предшествующих параграфах, упростим нелинейные дифференциальные
уравнения (4.1) с помощью частичного учёта слагаемых от вязкости и от
квадратичных членов инерции. Во-первых, предположим, что из всех
слагаемых в квадратной скобке в правой части первого уравнения (4.1)
наибольший порядок величины будут иметь слагаемые, содержащие производные
от радиальной скорости по углу 6. Во-вторых, поперечную скорость будем
считать малой по сравнению с радиальной скоростью и на этом основании
будем пре-
(с возрастанием Yk) точка отрыва жидкости от стенок будет при-
§ 4. Развитие ламинарного движения жидкости в коническом диффузоре
установившимся и осесимметричным
dvR v9 dvR v$ _____
VR dR' R db R ~
v\ 1 dp \^ivR 2 dvR
~ 4 __________________ r j . I ~ it | - - rt |
R ~ p 37? ^ L dR2 ' R dR '
i 1 JL
~ R2 sin 0 dd
(4.1)
R ~
§ 4] РАЗВИТИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 375
небрегать в первых двух уравнениях (4.1) всеми слагаемыми, содержащими
поперечную скорость. В-третьих, множитель vR в первом квадратичном члене
инерции первого уравнения (4.1) заменим той скоростью U, которая является
характерной для каждого сечения диффузора. При этих трёх допущениях из
уравнений (4.1) получим следующие приближённые линейные уравнения:
dv
1 др
dR
О
р dR ' A?2 sin 0 д0 др 2|xdvR
" дв ' R дд '
(-"•&)
о.
(4.2)
Проводя интегрирование по углу Q во втором уравнении (4.2), получим
давление
fyvR
-/(#)¦
(4.3)
где /-произвольная функция от одного переменного R. При подстановке (4.3)
в первое уравнение (4.2) мы можем пренебречь согласно нашему первому
допущению теми слагаемыми, которые будут получаться от дифференцирования
первого слагаемого (4.3).
Приближённые уравнения (4.2) аналогичны приближённым уравнениям (1.1),
(2.1) и (3.4), которые были использованы в предшествующих параграфах. Во
всех
этих уравнениях сохранялся лишь один квадратичный член инерции в первом
уравнении, но не в полном своём виде, а в виде произведения некоторой
скорости, характерной для данного сечения трубы или диффузора, на
соответственную производную от истинной основной компоненты вектора
скорости. Легко усмотреть, что в предшествующих параграфах характерная
скорость выбиралась таким образом, чтобы вводимое число Рейнольдса по
характерным величинам сечения оставалось одним и тем же для всех сечений
трубы или диффузора. Этим же соображением будем руководствоваться и в
данном случае кони -ческого диффузора. Выбирая за характерный размер
сечения Rt)0, определим число Рейнольдса для сечения в виде
в __ UR%^
(4.4)
376
РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. X
Тогда требование сохранения числа Рейнольдса для всех радиальных сечений
будет выполнено, если характерная скорость будет переменной величиной,
изменяющейся обратно пропорционально расстоянию от вершины диффузора.
Полагая, что по входному сечению радиальная скорость распределена
равномерно, т. е.
при Я = Я0 vR = U0, (4.5)
получим из требования постоянства числа Рейнольдса следующее выражение
для характерной скорости:
и = иф' (46)
К граничному условию (4.5) необходимо присоединить условия прилипания
частиц жидкости к стенкам диффузора:
при 0 = 0о vR =0, vB = 0. (4.7)
Так как элемент поверхности сферы с центром в вершине диффузора равен
ds = R2 sin 0 d0 d<p,
то условие постоянства расхода через радиальное сечение диффузора будет
представляться в виде
%
'2kR2 J vR sin 0 db - Q. (4.8)
о
Таким образом, задача изучения развития движения вязкой несжимаемости в
коническом диффузоре сводится к решению дифференциальных уравнений (4.2)
при граничных условиях (4.5), (4.7) и (4.8).
Проводя интегрирование по углу О в третьем уравнении (4.2), получим
выражение для поперечной скорости
в
= - ш i А И2 J^sin 6 d6] * (4-9)
о
В силу условия (4.8) левая часть выражения (4.9) будет обращаться в нуль
на стенках диффузора, т. е. условия (4.7) для поперечной скорости будут
выполнены.
При использовании (4.3) и (4.6) первое уравнение (4.2) может быть
представлено в виде
и о
§ 4] РАЗВИТИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 377
Умножая левую и правую части этого уравнения на /?2sinOd0 и проводя
интегрирование по углу 0 в пределах от 0 до 0О, получим:
90
R°R Ш [ j ^ 51П 8 ~ 7 S*2 (~ C0S 90 + 1) + v Sin 0О (^)о •
О
Используя условие (4.8), найдём:
df _ pQUpRg | p. sin 60 /дРд \ rain
dR - kRUI - cos 0o) "T" 7?2(i_cos60) V дв J0'
Если равенство (4.8) применить к начальному сечению, то для расхода будем
иметь следующее выражение:
Q - 2nU0Rl (1 - cos 0О). (4.12)
Подставляя (4.11) в уравнение (4.10), используя (4.12) и
вводя
обозначения
та=*' (4'13)
получим уравнение для радиальной скорости
dvR k д I ¦ advR\ nr г -oi и sin6° ldvR\ гл i лл
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed