Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
кинетической энергии поля возмущений может служить вполне достаточным
признаком возникновения неустойчивости исследуемого ламинарного течения.
Если принять это допущение, то дальнейшая задача исследования
устойчивости прямолинейно-параллельного течения между параллельными
стенками будет сводиться к подбору соответственного поля возмущений,
удовлетворяющего неравенству (2.25), при котором правая часть равенства
(2.24) обращалась бы в нуль и при этом число Рейнольдса исследуемого
ламинарного течения принимало бы наименьшее значение. Приравнивая правую
часть (2.24) к нулю и подставляя значение М из (2.23) и значение угловой
скорости вихря, получим:
и V < 0.
(2.25)
Я
s
dxdy + ^j(^~wJdxdy = 0- (2-26)
S '
Если теперь перейти в равенстве (2.26) к безразмерным величинам, полагая
x = j, у = j, "I - Я/Я). и' = и<?('> Я- v' - ЩЯ Я> R = v'
398
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
то для числа Рейнольдса получим следующее равенство:
Я С
R = • (2.27)
j j /'O']Ж". иЯЯ
s
Таким образом, задача определения минимального значения числа Рейнольдса
будет сводиться к определению минимума отношения (2.27) двух двойных
интегралов.
§ 3. Исследование устойчивости ламинарного течения с прямолинейным
профилем распределения скоростей
Пусть мы имеем две параллельные стенки на расстоянии h друг от друга.
Если нижняя стенка будет неподвижной, а верхняя будет перемещаться
параллельно самой себе со скоростью U и если перепада давлений в
направлении течения не будет, то для основного поля ламинарного течения
между параллельными стенками будем иметь прямолинейный профиль
распределения скоростей по сечению, т. е.
и± = тУ> я = о. (3.1)
Для исследования устойчивости данного ламинарного течения по методу малых
колебаний мы должны обратиться к приближённому дифференциальному
уравнению (2.9) для функции тока поля возмущений. Подставляя в это
уравнение выражение (3.1) для продольной скорости, получим следующее
дифференциальное уравнение с частными производными четвёртого порядка:
д Дф' U д ;W . . ,, /0
-dt+Ty-w- = '**<- W
Вводя безразмерные независимые величины
е = тг* * = т'> R = ^?' <3-3>
представим дифференциальное уравнение (3.2) в виде д Дф' . д ду 1 . . ,
-af ¦+ч-дг- =r-W- (3-4)
Далее, как уже указано в § 1, функцию тока представим в виде
•У = ?/АеН?'--":>/(т,). (3.5)
Тогда
Дф' = ^ - а2/-|- |^) = Uhe* (т,), (3.6)
§ 3] ТЕЧЕНИЕ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 399
и дифференциальное уравнение (3.4) запишется:
+ ? [Ri ("'П - Р) - а2] = 0.
(3.7)
Таким образом, задача свелась к решению однородного дифференциального
уравнения с обыкновенными производными второго порядка
(3.7) и последующего решения неоднородного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка
dij2
-а 2/=ф-
Если ввести новое независимое комплексное переменное
(3.8)
q*-HR (?-"))
(aR)2-
то дифференциальное уравнение (3.7) преобразуется:
й'1ч)
(3.9)
(3.10)
Независимыми решениями этого уравнения будут г) цилиндрические функции с
индексом 1/3, т. е.
(3.11)
Неоднородное дифференциальное уравнение (3.8) можно решить методом
вариации произвольного постоянного. Получим два независимых решения:
(3.12)
"
к = ^ | '-Ре С2') sin z О2' - z) dz'<
где
(3.13)
а нижний предел z0 представляет собой пока неопределённую комплексную
постоянную. Умножая (3.12) на произвольную постоянную и складывая с общим
решением однородного уравнения (3.8),
*¦) Рыжик, Г р а д ш т е й н, Таблицы интегралов, Гостехиздат, 1951, стр.
363.
400 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ (гл. XI
получим общее решение полного уравнения для /:
/(¦П) = ЛЛ + Bf%+Ce*'t + De~'\ (3.14)
На основании (3.5) проекции вектора скорости поля возмущений будут
представляться в виде
u' = ^- = Ue*&-*)f(y,,), ]
д./ * (3-15)
v' - ~ - /(т|). j
Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам в поле возмущений
будут тогда иметь вид
/(0) = 0, /'(0) = 0, /(1) = 0, /'(!) = 0. (3.16)
В качестве z0 в (3.12) возьмём значение z из (3.9), отвечающее нижней
стенке (т] = 0), т. е.
_ a2+fRgj
("R)'
(3.17)
Тогда при значении z = z0 функции f1 и /2 из (3.12), а также и их первые
производные будут обращаться в нуль. Поэтому первые два условия (3.16)
при подстановке выражения (3.14) дадут:
C+D = 0,
а (С- D) = 0.
Отсюда
С=0, D - 0.
Обозначим через z1 значение z, отвечающее верхней стенке, т. е.
(aR)3'* 4 '
Удовлетворяя условиям прилипания к верхней стенке, получим из
(3.14) следующие уравнения:
Afi (2i) + ^/2(zi) = 0.
Afi(zi ) + ^/a(21) =0.
Так как постоянные А и В не могут обращаться в нуль, то мы должны
приравнять нулю определитель системы, т. е.
Л (Zi)/s С^) -/9 (2J/1 (.гх) - 0. (3.19)
Полученное уравнение (3.19) является трансцендентным характеристическим
уравнением поля возмущений, наложенного на поле скоростей основного
потока вязкой несжимаемой жидкости. Это
§ 31 ТЕЧЕНИЙ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 401
уравнение связывает значение числа R основного потока с кинематическими
