Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
отдельного резервуара. По этой причине рассмотренное в § 10 течение в
пло-
i) Кузьмин, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935, стр. 217.
§ 3] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 363
ском диффузоре носило характер течения от источника, помещённого в
вершине диффузора.
Рассмотрим теперь задачу о развитии плоско-Параллельного движения в
плоском диффузоре с учётом распределения скоростей во входном сечении, но
не на основании точных нелинейных дифференциальных уравнений, а с помощью
приближённых линейных уравнений, аналогичных уравнениям (2.1).
Пусть две прямолинейные стенки, простирающиеся в направлении оси г до
бесконечности, наклонены друг к другу
под углом 2а (рис. 94). Предполагая жидкость несжимаемой, а её движение -
установившимся и плоско-параллельным, будем иметь из
(6.6) и (6.7) главы И следующие дифференциальные уравнения в полярных
координатах;
dvr
rJ7
, vfdvr ' г ду
Л ¦ г
1 др
+
р дг
/d^Vy 1 dvr 1 d2vr
^ ' \ dr2 г дг г2 д'-р2
dv" VydVy vrv^ 1 dp t
^r dr r r
d'lVv
dr2
pr dy 1
,14
"Г r dr
Vy >2 '
dv,. vr . 1 dvy
dr r r dtp
1
r'i dy2 = 0.
2 dv, г2 d<p
()¦
2 dVy r'i r2 dtp
(3.1)
В уравнениях (3.1) как слагаемые от вязкости, так и слагаемые от
квадратичных членов инерции учтены полностью. Упростим эти уравнения с
помощью лишь частичного учёта слагаемых от вязкости и от ускорения,
подобно тому как это делалось в теориях смазочного и пограничного слоя.
Во-первых, будем полагать, что производные от vr по г, входящие в правую
часть первого уравнения (3.1) в комбинации
I J_ ^ - d^.^dVy.Vy 9
dr"1 ' r dr r'i r2 \ r dr) dr"i r dr "T" r2 ' ^ ' '
в своей совокупности малы по сравнению со второй производной от этой
скорости по углу <р. Во-вторых, компоненту скорости будем считать малой
по сравнению с vr и поэтому будем пренебрегать всеми слагаемыми,
содержащими эту компоненту скорости
364 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
в качестве множителя или под знаком производной по г. В-третьих,
радиальную скорость, входящую в качестве множителя в первое слагаемое в
левой части первого уравнения (3.1), заменим её средним значением,
определяемым из выражения расхода источника на плоскости для идеальной
жидкости
",= ?, (3.3)
где Q-полный расход жидкости через сечение диффузора. При этих трёх
допущениях получим из (3.1) следующие приближённые уравнения:
Q dvr 1 др , у d2vr ^
2 аг дг р дг' г2 д<?2
п 1 др | 2ч dvr
Р ду г ду '
(3.4)
дг ' г ' г ду
Из второго уравнения (3.4) после интегрирования по углу <? получим:
P=2j^ + f(r), (3.5)
где f(r) - неизвестная функция от г. Продифференцируем (3.5) по г\
Если подставить выражение (3.6) в правую часть первого уравнения
(3.4), то первые слагаемые (3.6) согласно указанным выше допуще-
d^vr
ниям должны считаться малыми по сравнению с и мы их можем
(но только после подстановки в (3.4)) отбросить. В' таком случае из
(3.4) получим:
Q dvr V d2vr 1 df
2аг дг г2 ду2 р dr '
д , dv9
a?(^r) + w = o.
(3.7)
Задачу о развитии движения жидкости в плоском диффузоре будем решать с
помощью приближённых уравнений (3.7).
Сформулируем теперь граничные условия. Условия прилипания жидкости к
стенкам будут представляться в виде:
при <р = :±:<х = 0, ^ = 0. (3.8)
Условие постоянства расхода жидкости через каждое сечение будет давать
следующее равенство:
§ 3] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 365
Примем, что по входному дуговому сечению диффузора радиальная скорость
распределена равномерно, т. е.
при г = г0 vr = v0 = ^. (3.10)
Проводя интегрирование второго уравнения (3.7) по углу ср, по-
лучим следующее выражение для поперечной скорости:
<?
v<? = э~г / rvr do. (3.11)
- а
В силу постоянства правой части (3.9) условия обращения поперечной
скорости в нуль на стенках будут выполнены.
При интегрировании первого уравнения (3.7) по углу ср получим:
&Гг / ''^=д[(r)).-(%Ц-73И <3',2)
-а
На основании (3.9) интеграл в левой части данного равенства можно
заменить отношением расхода к полярному радиусу
а
Q
vr dec = -.
г , г
Определяя из равенства (3.12) ^ и подставляя в первое уравнение
(3.7), получим для радиальной скорости следующее уравнение:
Q dvr v d2vr Q2
2а дг г <?ср2 4а2г2 2аг
В силу симметричного распределения скоростей по входному сечению можно
полагать, что и в каждом другом сечении радиальная скорость будет
распределяться симметрично относительно средней линии ср = 0. При этом
предположении будем иметь следующие равенства:
при ср = 0 **=0,
/dtv\ /сЧд
\дч)-* \(??A'
Вводя обозначения
(3.14)
^ = Inf =6 (3.15)
ч га
и используя равенства (3.14), получим из (3.13) для радиальной скорости
дифференциальное уравнение
dvr и d?'Vr Е k (dvr\
366
РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
(гЛ. х
Данное уравнение (3.16) необходимо решать при следующих граничных
условиях:
при ф - a vr - 0,
при $ = 0 vr - v0.
(3.17)
Если ввести преобразование Лапласа по переменному ? от радиальной
скорости
f e~Pk>r d\ - VJL J р
