Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
прямолинейно-параллельное течение в круглой цилиндрической трубе:
дру
dt
¦V,,
д Dy дг
Для случая основного кругового течения вязкой несжимаемой жидкости в
уравнениях (2.10) необходимо положить:
394
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИИ
I*
При этих предположениях дифференциальные уравнения поля возмущений
представятся в виде
<4 ,
dt "Г
vi9 <ч
дг, v dt "Г -
ду
dv'v
dy
dv.
, ' dvif
+ v>--dF'
Р
v'v
др
1 др ~~ ргдч"^~
Д vr
Д^"
VJL
>2
^дК\
' Л2 дЧ I '
ldv'A >2 дч)>
dv' v,n dv'. 1 др
? _j lJL I -_______________________ [_ >, \7i
dt^ г ду ~~ p дг ^ z '
dv.
' r _4_ T7T-
dPy dvz dy > d?
0.
(2.15)
dr 1 r 1 г дч 1 dz
Если в рассматриваемом случае дополнительно предположить, что проекции
вектора скорости поля возмущений и давление не будут зависеть от
полярного угла (r)
dv'y dv'z др
дч дч дч
то из (2.15) получим следующие дифференциальные уравнения симметричного
поля возмущений, наложенного на основное круговое движение вязкой
несжимаемой жидкости:
dvY
дч '
: 0,
dv.
2v
lcp U ф
dt dp dt
d^__
dt
d{rv'r)
dr
1
p dr "I-
dv,
dr 1 dp p dz d (rv')
Ы-$)-
(2.16)
dz
= 0,
где
d'*_ , 1 d
r'i >
+ -
dr'i 1 r dr 1 dz'i
Приближенные дифференциальные уравнения (2.9), (2.14) и (2.16)
соответственных полей возмущений использовались отдельными авторами для
исследования устойчивости основных ламинарных течений вязкой несжимаемой
жидкости.
Теперь перейдём к установлению некоторых энергетических соотношений для
поля возмущений.
Обратимся к полным уравнениям поля возмущений (2.5). Умножая первые три
уравнения на и', v' и w' соответственно и складывая,
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯ
395
получим: . V'2
У
dt
¦ и
1 дх
¦w,
/2 ди% , ,'idv, дх 1
-w
/2 dwx dz
+
1 ду г "'1 dz г " дх г " ду
+M?'+?)+"(&+&)+-v(?+$) =
=¦'?(?+?)+<(?+?)+*?(?+?)+
-{-¦Дм'Дя'-[-г/Дг/Д-'и/Агг/). (2.17)
Используя уравнение несжимаемости и выражения компонент вектора вихря,
будем иметь:
Д и'--
\дг ду )
Дг;'
/д<о
2(ш-
х
JF
а' Ди.' -)- г"' Дя>' -f- w' Aw' =
г /дю" d">.\ /<?ш1 до>1\ /
= 2("'Ы-37) + "'(жг-а7) + "''(
<?ДГ
(*'<¦
¦ геЛоД 4--
у' ' дук я
¦). ^=2(^-Э). )]=
+i(tt4 -(r)4)] - 4о/
ду
C?JC
"Ч)+
>' (f+т ^)] +Ш?+Т+h Р (т ¦+ т '"'У
д_
дх
Первые четыре слагаемых в левой части (2.17) в своей совокупности
представляют собой индивидуальную производную по времени от кинетической
энергии единицы массы в поле возмущений при условии, что переход частиц
из одного положения в другое происходит со скоростью основного движения.
Для этой производной введём отдельное обозначение
J Л А А А
(2.18)
dx. dt'
4*7 Hi
дх
'Vldy '
¦wiaF-
Для всех последующих слагаемых левой части (2.17) также введём отдельное
обозначение
+"'-'(ё*'+^)+^'(1?+^)1* <2л9)
УС'ГиИЧИВии 1L" ллмпплгпил
Используя обозначения (2.18) и (2.19) и предшествующие формулы
преобразования, получим из (2.17) следующее энергетическое соотношение
для единицы объёма частиц жидкости в поле возмущений:
л (^) = РМ - 4^'3 +ё ["' (р' + Т ?у'*) + 2Р- (г/< - (tm)Ч>] + +ё [v' (pf+i
p^/2) + 2K - "4)] +
+ ^ [(tm)' (p' + Y P^'2) + 2p. (uW - v'V)] . (2.20)
Для случая плоского поля возмущений будем иметь: те/ = 0, о/= 0, о/= 0,
ш' = о/
х У z
и, следовательно, энергетическое соотношение (2.20) будет представляться
в виде
% (лГ") = рМ " 4,'Ао/" + ё \11' (р' + Т Р'/,")+ 2|w;Vj +
+ё \v' b' + j pv'2) ~ ; ^2-21)
при этом из (2.19) получим:
"=-K?+"'*?'+"v(gl+&)b <2-22>
Если же основное течение будет плоским прямолинейно-параллельным, т. е.
= ё1-°> и1 = и1(у),
то выражение для М примет вид
М= - (2.23)
Допустим, что можно выбрать такой конечный прямоугольник с площадью S, на
границах которого у = с, у = d проекции вектора скорости поля возмущений
обращаются в нуль, а на других границах х - а, х = Ь распределение
скоростей, давлений и вихрей будет одинаковым. При этих условиях при
интегрировании по члощади рассматриваемого прямоугольника будем иметь:
f f §х[и'{р'~^1 pV'2) + 2^,(В'] dx аУ =
S
у=а
Г \иг (р' -| рр pV'~\ -)- 2и.т/,(в/1 dy = 0,
L \ - / Ах=а
у-с
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯ
397
J Jk iv' (р' pV'*) ~~ v] йх йу =
= I ^'{р' + -2|ahVJ dx = О,
г, У - С
S S S
Полученное интегральное соотношение (2.24) представляет собой
энергетическое соотношение для частиц жидкости внутри указанного
прямоугольника в поле возмущений. Это соотношение показывает, что
возрастание кинетической энергии поля возмущений может происходить только
тогда, когда величина М будет заведомо положительной и при этом такой,
чтобы значение первого интеграла в правой части (2.24) превосходило
значение второго интеграла. Для случая плоского прямолинейного течения,
для которого
величина М из (2.23) может быть положительной, если проекции вектора
скорости поля возмущений будут иметь разные знаки, т. е.
В указанных в предшествующем параграфе статьях, в которых исследование
устойчивости ламинарных течений проводилось с помощью энергетического
метода, в качестве допущения принималось, что возрастание со временем
