Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
имеется в книге "Проблемы турбулентности", ОНТИ, 1936.
2) Rayleigh D., Proc. bond. Math. Soc., X (1879); XI (1880); XIX (1887);
XXVI (1895); Phil Mag (5), XXXIV (1892); (6), XXVI (1913); XXV111 (1914);
XXX (1915). Scient. Papers 1, 111, IV, VI.
3) Kelvin L., Phil. Mag. (5), XXIV (1887); Papers, VI.
4) Loren tz H. A., Abh. ii. theor. Physik, 1 (1907).
5) Lin С. C. Quarterly of Applied Mathematics, т. Ill, 1945.
6) Белякова В. К., Прикл. матем. и мех., т. XIV, вып. 1 (1950).
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
содержащая в показателе время t и основную координату оси, параллельной
скорости течения. При этом предполагается, что неизвестный множитель а
может принимать только действительные значения, а для множителя [5
допустимы и комплексные значения. На частное решение линеаризированных
уравнений поля возмущений сомножителем (1.3) в большинстве случаев
накладывались граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам.
Дальнейшая задача сводилась к решению обыкновенного дифференциального
уравнения, к удовлетворению граничных условий и исследованию полученного
с помощью последних характеристического уравнения, связывающего множители
[3 и а с числом Рейнольдса. Вопрос об устойчивости или неустойчивости
ламинарного течения решался затем по знаку мнимой части множителя р. Если
мнимая часть этого множителя оказывалась отрицательной, то исследуемое
течение считалось неустойчивым по отношению к возмущению этого рода, так
как после своего возникновения амплитуда этих возмущений будет расти со
временем. Если же эта мнимая часть оказывалась положительной при всех
значениях множителя а и числа Рейнольдса, то делалось заключение о том,
что исследуемое течение устойчиво по отношению к возмущениям частного
вида (1.3).
Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости
ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался
преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на
ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось
не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума
некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и
квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение
того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в
поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии,
которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении
постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле
возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот
метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра *), Кармана2),
Сайнджа3) и др.
§ 2. Общие уравнения для возмущённого движения
Прежде чем переходить к исследованию устойчивости отдельных ламинарных
течений, установим общие уравнения для возмущённого движения вязкой
несжимаемой жидкости и некоторые интегральные соотношения для этого
движения,
1) О г г, Ргос. Roy Irish. Acad., XXVII, 1906-1907.
2) Karma n, Abhandl. Aerod. Inst., Aachen, № 5, 1925.
3) Synge, Jonrn. of Math, and Physik, т. XV, 1936.
§ И]
ОБЩИЕ УДЛИНЕНИИ длн виам juj,c,nnvi v доптышл
Если действием массовых сил пренебрегать, то дифференциальные уравнения
движения вязкой несжимаемой жидкости будут представляться в виде
да
dt
dv
dt
dw
~di
=rr -U
¦ U
da
dx
dv
dx
dw
dx
да , да 1 dp , ,
¦v- + w ^ = - -?-\-чАи,
¦ V
dy
dv
dy-
dw
dz dv ¦w^ =
¦ w
. dw dz
p dx J_dp P dy j_ dp ' p dz
-|- 'IA v,
¦ v Aw,
du
dx
dv
7 + 57 + 57 = °'
(2.1)
Частные решения системы уравнений (2.1), отвечающие определённому
основному течению жидкости, обозначим через
"1. v>i> Pv
(2.2)
Для этих частных решений (2.2) дифференциальные уравнения (2.1)
удовлетворяются либо точно, либо приближённо. Следовательно, можно
написать:
dt
dvt
dt
Ldx
dv.
du.
J_dy, ,
P dx ~T"
dv 1
dwi
W~rUl
Si I i/'i/i 1 UVi i (
+ + -7dy
dw.
dx
¦ г".
1 dy
^4_L_
dx~i~
dVi 1 dpt
¦ dz p dy
dwt 1 dp,
¦w, - -
1 dz dwt dz
dz
0.
v A"t, ч Аг/р V Aw,,
\ (2.3)
Составим разность соответственных уравнений (2.1) и (2.3) и введём
обозначения
и -v -
w -р
-V,
и', )
V, !
= W , j
=р'. I
¦ ге^ = хгт ~Pi
(2.4)
Если величины и, v, w н р будем рассматривать как проекции вектора
скорости и давление результирующего возмущённого движения жидкости, то
и', v', w' п р' будут представлять собой проекции вектора скорости и
давление дополнительного движения жидкости, которое в дальнейшем будем
именовать полем возмущений. Для изучения изменений характеристик поля
возмущений получим из (2.1) и
oi?w
JLlUH'lHDUblD t'1/AiVl ШК1Г 11 L)1 A 1 Ь аы
(2.3) следующие дифференциальные уравнения:
ди' , ди' . ди' , ди' , ,dM, , ,ди, . ,ди, . + "1777 + ^7)7 + (tm)! d7 + "
+ ^ + (tm) 777 +
ду
-f-2(aya/-
dA 1 dV'a
dy
/ /\ I L U V 1 г * /
¦ ) 4" "o "3- ----------h "
s ' 1 2 dx p dx 1
dv' г dz/ , dv' , dv' , , dv-\ , , dz/* , , dvi ,
