Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ "i^ + ^ + (tm)idJ + " 5Г + (r) + (r) ai +
df1 1 1 dx ^ 1 dy
+2 (t°,w
/,ч,1 dV'2 I dp' | . ,
"У^+Т-д^ = -Г 7n7 + vA* ¦
dy
2 dy p dy
, , ,uw, , ,d(r), ,
+ (tm)i-dF + M dJ + (r) d7 + (tm)
d(r)' , d(r)' , dw' , dw' , rdwx , ,d(r)t , "",/dwt
dz
+
+2 (7+ - *[/) -
1 dV'2
2 dy
1 ^ I A /
:-----------f- -4- V \W ,
o dz 1
(2.5)
M.dt/.W __0 dA ^ dy ^ dz
В этих уравнениях uv vx, wx и pt представляют собой известные функции
координат и времени для основного течения, V' - модуль вектора скорости
поля возмущений, а о/, о/ и о/ - проекции вектора вихря поля возмущений,
т. е.
dw' dv'
•dz '
2шх - •,
¦я dy
0 ' ди' dw'
2ш" = д1-Ж'
dv' ди'
Мг дх ду
Если считать проекции вектора скорости поля возмущений малыми и
пренебрегать квадратичными членами инерции этого поля, то получим
следующие дифференциальные уравнения: ди' , ди' , ди' , ди' ,
- + ^+^d7 + ^dl +
+ u'p + v'p + w'p = -LW.+^u',
1 dx 1 dy 1 dz p dx 1
dt
dy
dv' , dv' , дг/ . dv' .
¦ + "i 3F+(r)is7 + 'a,iaF +
df1
, /dt/i . ,(/1/, , /Wl/i i о и . , ,
+ И з-i + V 4- W =---------------------------------------------2-4-vio',
1 dx 1 dy 1 dz p dy 1
dvx
1 dp'
dw' , d(r)' . d(r)' . d(r)' .
^- + %77 + t'ia7 + (tm)ia7 +
dA
dy
, ,d(r), , ,d(r), , ,d(r), 1 dp' . . ,
+ " dT + ^ d7 + (tm) d7 = -7^7 + ''A(tm)>
dy
dA ' dy ^ dz ~~
(2.6)
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯ
ОУ I
Умножая первые три уравнения соответственно на единичные векторы осей
координат и складывая, получим приближённое дифференциальное уравнение
поля возмущений в векторной форме
dV' , dV' , dV' . dV' , ,dKt
-дГ + и+ + w d7'
+
. ,dvx l
¦ v -3- 4- w -- -------------
grad jo'-f- v Д V'.
(2.7)
dy 1 dz
Если основное течение считать прямолинейно-параллельным, т. е. vi = 0, wx
- 0,
то дифференциальные уравнения (2.6) поля возмущений будут представляться
в виде
du' , , du-i , , dux__
du'
dt
dv'
dt
dw'
dt
¦ и
1 dx dv'
1 dx dw' dx
, dui , , иил
¦(r) тН'(r) T" dy 1 dz
i djL
P dx 1 dp'
7 ~dy
1 dp' . . ,
- 4-4- v W,
p "
iAu'
-^-Д-чДг/,
du'
d.e
dw'
'ly
dw'
dz
(2.8)
Для случая плоско-параллельного поля возмущений будем иметь:
dv' dz
, 1 /dv' du'\
w
: 0,
dz
= 0,
po, d4-.
dz
0,
и
db' , d<i/ _____________________
: dj ' v - ~ dl ' " ~ 2 \dJc dy J '
Исключая из первых двух уравнений (2.8) давление, получим следующее
приближённое уравнение для функции тока поля возмущений:
d<!/
д Ш , d Д<1/
dt
dx
dx dy
1 = уД Д1
V
(2.9)
Хотя дифференциальное уравнение (2.9) установлено для случая плоского
прямолинейно-параллельного основного течения, всё же его можно с
некоторой степенью приближения использовать и в случае, когда основное
течение и не будет в точности прямолинейно-параллельным и вектор скорости
течения будет иметь две проекции, но тогда одна проекция должна быть
малой по сравнению с другой, а основная проекция должна мало изменяться
вдоль течения. Иначе говоря, уравнение (2.9) можно использовать и для
плоского пограничного слоя.
Чтобы получить приближённые дифференциальные уравнения поля возмущений в
цилиндрических координатах, проще всего поступить
следующим образом. Взять уравнения (6.6) и (6.7) главы II без учёта
массовых сил, подставить в них
Vr = Vlr+Vr,
19
¦Vv,
P = Pi-hp'>
учесть уравнения для проекций вектора скорости основного течения и vlz и
пренебречь произведениями производных от проек-
¦'1 г>
ций вектора скорости поля возмущений. В результате получим следующие
дифференциальные уравнения поля возмущений:
+ 1г дг
dt
dv
+ Vlz~dz
vlvdvr г ду '
rdVbг <\дЩг
T^Vr dr ^ <•
, dvx, д ? п dz
1 др'
2v, v"
( , vr 2 dv,
-j v^Atv- r2 r2 difJ
dr
di\
~dt
dv
+ Vlr ЗГ +
dt/
ViydVy
d?
' <^19
Vr-W~
v," dv
19
, dv
d'f
¦ V,-
19
+
r 19 '
1 dp' p r d?
•4-v
, , v 2 dv v
- 75 + af) .
dv, dv"
r
dt
vitf dv~ r dy dv'z
dvr
dr
+
, dv.
vr
dr
r d sj
/ dvlz
dz
JL ^p'
p dz
¦v ^v'.. 1
+ 4-1
/• r df
dt/?
dz
0.
(2.10)
Для случая прямолинейно-параллельного основного течения в круглой
цилиндрической трубе будем иметь:
§ *1
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯ
и поэтому дифференциальные уравнения поля возмущений будут представляться
в виде
dv' dvl
Г dt + (r)1г dz
dvl dv'
f dt + f dz
dv9 dvl
dt + VlZ dl +
г
/•2
2Ч\
Г2 d'f j '
2 <Ч'-\
,/ <^1г L д_Ё_ .
r дг р dz
d{rvr) d(rv) dv'
= 0.
дг 1 dz 1 д<?
Если полагать поле возмущений осесимметричным, т. е.
(2.11)
v9 =з О,
dvr dv, л,/
^ = 0, -г-г = 0, ^ = 0,
cty d<f d?
то на основании последнего уравнения (2.11) можно ввести функцию тока
ду дУ
ГУ, =
гу, - - -
дг ' г дг '
Первые два уравнения (2.11) представятся тогда в виде
(2.12)
1 / дЦ г \d/d.z /dw , dW
\m?+v' '
-v.
дЦ\_ 1гдг^) -
г \OtOr ' и дгдг дг дг где D - оператор Стокса:
1 dp' . v dPy
P dr 1 г дг
1 1 ^ 4 v дРУ
о dz г дг
(2.13)
" d2 1 д , d2
(pi ~ 7d? + d^-
Исключая из уравнений (2.13) давление, получим следующее дифференциальное
уравнение для функции тока симметричного поля возмущений, наложенного на
