Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 116

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 170 >> Следующая

получим дифференциальное уравнение для основной скорости
Уравнение (2.9) при граничных условиях (2.2) и (2.4) будем решать также
методом преобразования Лапласа. Полагая
и подвергая преобразованию Лапласа уравнение (2.9) и граничное условие
(2.2), получим следующую задачу для изображения:
Общее решение уравнения (2.11) через функции Бесселя нулевого порядка от
мнимого аргумента будет представляться в виде
Так как функция К0 при г = 0 обращается в бесконечность, а скорость на
оси трубы должна быть конечной, то постоянное В необходимо приравнять
нулю. Из (2.12) будем иметь:
(2.7)
Подставляя (2.7) в первое уравнение (2.1) и обозначая
(2.8)
ди _ k / ди \____2k /ди \
дх ~~ г дг \ дг) а \дг )а'
(2.9)
ОО
6
оо
(2.10)
f e~pxJ7dx = ~ и + а*
О
dr* ' г dr k k
при г = а и* = 0.
(2.11)
,§ 2] РАЗВИТИЕ ДВИЖЕНИЯ В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ 359
Используя равенство (2.13) и граничное "условие (2.11), "получим
следующее выражение для постоянного А:
и
Р
Подставляя (2.14) в (2.12), получим:
I/}';("/ ?)-'"("/ 7
, получим:
"(*/' ?)-'•('/ т)
(2.14)
h
U
•("/ i)-iVr7r°('V i
S Г к J a f р Если использовать рекуррентные формулы
/о = А, -^==^ = /0 - /а.
то для изображения основной скорости частиц вязкой жидкости найдём:
, '•("/
----------- --==---------. (2.15)
'7/^ г)
Обращая преобразование Лапласа, получим следующую интегральную формулу
для основной скорости:
а-Ы-оо
= "'it- (2-16,
в-too h\av f"
я |/
Пользуясь известным разложением
со
4W = V ^
п+2к
Д k\{n + k)\ о
и уменьшая параметр преобразования до нуля, получим из (2.15):
<"V" = 2i/(i-?).
Таким образом, на бесконечном удалении от входа в трубу будет
устанавливаться параболический профиль распределения скоростей по
сечению, т. е.
/ Г2\
I
360 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Раскладывая подинтегральное выражение (2.16) на простые дроби, получим:
,.("/ |)-,й(г)А с.
РГ2(а}/Г-г) ' W' = 1
Р\ (Р) _ _
б2 (р) ,( ^ Г р\ Р 1 Р Рот
~k.
- ?2. J_ V ________________°Л1__________ (9 18)
р 1 Р - Рт '
где рт-корни уравнения
/2 ("/!)=о.
связанные с корнями функции Бесселя второго порядка
У2(Т) = 0 (2.19)
следующим равенством:
aVP-f = l^n- (2-20)
Коэффициенты разложения (2.18) равны
, i (2-21)
у' (р,") Тот. /' (Тт)
Используя разложение (2.18), получим из (2.16) для основной скорости
следующее выражение:
со г (Пт \ j ( , \ чЛ,
и(х, г) = 2и(\ -4) + 2^7 У - I (2.22)
Й ,rTi Тто-МТт)
Подставляя найденное выражение (2.22) в (2.7), получим окончатель-
ное выражение для перепада давления
2
03 ( \ 1 ^ т
др __ 8нУУ /. 1 -у 70(Tm) -rw3') (2.23)
й2 ' 2,^4(7от)
Если воспользоваться рекуррентными формулами У' (х) = J1 (х) - (х),
Jq (х) -)- У2 (х) -
X
2^ (х)
§ 21
РАЗВИТИЕ ДВИЖЕНИЯ В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
361
и учесть уравнение (2.19), то формулы для скорости и перепада давления
можно также представить в виде
СО J (r '1т\
Ш = 1 "1
¦>Uav
(2.24)
??.
дх
8 р.Ц аЭ
Ч1ш
~Va*3
(2.25)
В цитированной выше работе С. М. Тарга были вычислены профили
распределения скоростей для ряда сечений, представленные на
0,02 0,04 ООО 0,08 ООО
Рис. 92.
0,12 0,16 0.13
X
a R
рис. 92. Картина развития течения на начальном участке круглой трубы,
показанная на рис. 92, качественно согласуется с картиной,
полученной из опытов Никурадзе. Сопоставление результатов расчёта по
формуле (2.24) с результатами экспериментов и результатами расчётов по
другим формулам показано на рис. 93, заимствованном
362
РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
[1'Л. X
нами из той же книги С. М. Тарга. Из этого рисунка видно, что картина
распределения скоростей, получаемая с помощью формулы (2.24) на всём
участке, количественно удовлетворительно согласуется с результатами
опытов.
Полагая в (2.24) г - 0 и сохраняя только первое слагаемое под знаком
суммы, получим следующее приближённое выражение для скорости частиц
жидкости на оси трубы:
и(х, 0) = 2U Г1 - 2 е~ ^1, (2.26)
L YrMVi) J
где -наименьший корень уравнений (2.19), равный
^ = 5,136.
Если за длину начального участка принять то расстояние L от входа в
трубу, при котором второе слагаемое в фигурной скобке (2.26) будет равно
0,01, то из (2.26) получим:
Z, = fe In -frfo)-1 (2.27)
ll 0,005T^o(Vi)
где R - число Рейнольдса для круглой трубы, т. е.
R = -¦. (2.28)
Подставляя числовое значение у1 и значение У0 (fi) из таблиц1)
•/o(Ti)~ - 0,133,
будем иметь из (2.27):
L=0,16oR. (2.29)
Таким образом, длина начального участка круглой цилиндрической трубы
пропорциональна числу Рейнольдса и значению радиуса трубы. Значение
коэффициента пропорциональности в (2.29) достаточно хорошо совпадает со
значением, определяемым из ряда опытов.
§ 3. Развитие ламинарного течения жидкости в плоском диффузоре
В § 10 главы IV было рассмотрено радиальное установившееся течение вязкой
жидкости в плоском диффузоре с помощью полных уравнений. Но при этом не
учитывалось возможное влияние распределения скоростей во входном сечении,
через которое жидкость реально может поступать в диффузор из какого-либо
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed