Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 371
При использовании равенства (3.38) выражение (3.35) для перепада давлений
можно представить в виде
0,5 j/"
aR
2
4а
R •
(3.40)
Если рассматривать случай малых углов раствора диффузора, то последним
слагаемым можно пренебречь. В этом случае при выполнении неравенства
R >~ (3.41)
течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления.
Обратимся теперь к вычислению силы вязкости. Согласно равенствам (6.5)
главы II будем иметь следующее общее выражение для касательной компоненты
напряжения:
Р,
dvr dvm
г tp
З' ( г ду дг
Слагаемые, содержащие поперечную компоненту скорости, на основании
принятых выше допущений должны считаться малыми по сравнению с
производной от vr по углу <в. Следовательно, силу вязкости на стенке
диффузора ср = а можно подсчитывать по приближённой формуле
^ (ду-л
(3.42)
Подставляя выражение для радиальной скорости (3.29) в (3.42), получим
выражение для силы вязкости на стенке диффузора
га
а2 а
Vs 71
а
-+2Ё
2
hn
Yk у k
= 1 г,.
а2
k
(?)*'
(3.43)
В § 1 главы VIII при рассмотрении вопроса об отрыве пограничного слоя от
стенки указывалось, что условие отрыва слоя от стенки представляет собой
условие обращения силы вязкости на стенке в нуль. Распространим это
условие отрыва пограничного слоя на отрыв всего потока вязкой жидкости от
стенок диффузора, т. е. место отрыва потока от стенок диффузора будем
определять из условия
(т)а = 0. (3.44)
372 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ жидкости [гл. X
Полагая левую часть (3.43) равной нулю и обозначая отношение радиуса
начального сечения к радиусу сечения места отрыва через s,
т. е.
г.
^ = s, (3.45)
' 8
получим уравнение для определения <9
9.
У
"2 а . Чп - ~
V . тг s k Yk
" & S ¦ 2 а
- - тт= - ч
(3.46)
й УУ Y к
Проведём небольшое исследование уравнения (3.46). Наименьший корень
уравнения (3.25) имеет значение
= 4,49.
Следовательно, при выполнении неравенства
О < - < я< 4,49 (3.47)
У к
левая часть уравнения (3.46) при положительных значениях у будет всегда
положительной. С другой стороны, изве.стно, что при
О < х < y будет иметь место неравенство
tgx > х,
а в интервале
значение тангенса будет отрицательным:
tgx< 0.
Таким образом, при выполнении неравенства (3.47) правая часть уравнения
(3.46) будет всегда отрицательной. А это значит, что при выполнении
неравенства (3.47) уравнение (3.46) не может иметь действительного и
положительного решения, т. е. отрыва потока от стенок диффузора произойти
не может. Подставляя значение k из
(3.39), получим из (3.47) следующее неравенство для числа Рейнольдса:
2г2
R<-. (3.48)
^ а
Таким образом, при сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса, не
превышающих значение правой части неравенства (3.48), отрыва потока
вязкой жидкости от стенок диффузора произойти не может.
§ 3] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 373
В § 10 главы IV показано, что чисто радиальное (г/? = 0) течение в
плоском диффузоре возможно лишь при выполнении неравенства
R<(x~12а)- (3-49)
Сопоставляя правые части неравенств (3.48) и (3.49), мы можем придти к
выводу, что при малых углах раствора диффузора правые части этих
неравенств не будут резко отличаться друг от друга. Это обстоятельство в
известной мере оправдывает принятые выше допущения, благодаря которым
точные нелинейные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в
плоском диффузоре
были заменены приближёнными линейными уравнениями (3.7). Некоторое
различие правых частей неравенств (3.48) и (3.49) следует объяснить
качественным различием самих требований, выполнение которых приводило к
этим неравенствам. В одном случае (3.49) неравенство получено в
результате требования возможности чисто радиального расходящегося течения
в плоском диффузоре, а в другом случае (3.48) неравенство получено в
результате требования безотрывности течения жидкости в том же диффузоре.
Уравнение (3.46) будет допускать' действительное и положительное значение
для s только тогда, когда неравенство (3.48) будет заменено обратным, т.
е.
R>~- (3.50)
Таким образом, при выполнении неравенства (3.50) будет происходить отрыв
жидкости от стенок диффузора, При этом, как это
374
РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
[гл. X
следует из вида левой части (3.46), с возрастанием числа Рейнольдса
ближаться к входному сечению (величина s будет уменьшаться). Выполнение
неравенства (3.50) влечёт за собой и выполнение неравенства (3.41). А это
значит, что при наличии отрыва потока жидкости от стенок течение жидкости
будет происходить в сторону возрастания давления.
В цитированной выше работе С. М. Тарга проведено более подробное
исследование развития течения вязкой жидкости в плоском диффузоре. В
частности, в этой работе приведены и результаты численных расчётов
зависимости положения точки отрыва потока от стенок от значений числа
Рейнольдса, и эта зависимость представлена графиком, который мы здесь
